Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тема 1. Линейная алгебра.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

577.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Проверка
		1	2	3		17 −14 11				30 0		0	1	0	0
A A	−1				1				1							= E .
		= −2	1	4		−10 10	−10	=		0	30	0	= 0	1	0
		= −2	1	4	30	−10 10	−10	=	30	0	30	0	= 0	1	0
		−3	−4 1			11 −2	5			0	0	30	0	0	1

1.6. Матричные уравнения. Матричная запись СЛАУ. Формулы Крамера

Рассмотрим два типа матричных уравнений:

1. An×n Xn×m = Bn×m .

Теорема 1

Для матричного уравнения: A X = B решение находится по формуле: X = A−1 B .

Доказательство

Пусть A - невырожденная матрица, то есть

≠ 0 , из этого следует, что существует

обратная матрица A−1 . Умножим матричное уравнение

A X = B слева на A−1 , получим:

A−1 A X = A−1 B , E X = A−1 B , откуда:

X = A−1 B .

a11 x1 + a12 x2 +K+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +K

+ a2n xn

= b2

Пусть дана СЛАУ n -ого порядка:

LLLLLLLLLLLL

x + a

+ a

= b

n1 1

a11

a12

Рассмотрим следующие матрицы: матрицу системы: A

n×n

K K

an1

an2

неизвестных: X

и столбец свободных членов:

n×1

a1n

a2n , столбец

ann

Теорема 2

Матричная запись СЛАУ имеет вид:

A X = B .

Доказательство

a11x1 +a12 x2 +K+a1n xn

Перемножим матрицы: A

+a x

+K+a

= B

21 1

22 2

2n n

= 2

n×n

n×1

LLLLLLLLLL

n×1

an1x1 +an2 x2 +K+ann xn

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Очевидно, что матричная запись СЛАУ это частный случай 1–ого типа матричных уравнений (при m =1), поэтому ее решение также находится по формуле: X = A−1 B .

Пример 1

2x1 +3x2 + 2x3 = 9
Решить матричным методом СЛАУ: x1 + 2x2 −3x3 =14 .
3x1 + 4x2 + x3 =16
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Решение этой системы мы уже находили по формулам Крамера.
Решение
2	3	2				x
	2				X	1
Выпишем матрицу системы: A = 1	2	−3 , столбец неизвестных:			X	= x2 и
3 4		1				x3
9
столбец свободных членов: B = 14 .	Определитель системы:		A	= −6 ≠ 0 .		Находим
столбец свободных членов: B = 14 .	Определитель системы:		A	= −6 ≠ 0 .		Находим
16

обратную матрицу:

форме имеет вид:

x1 = 2
x2	= 3 .
x	= −2
3

				1		14		5	−13
A	−1	= −		1			−4			8		Тогда		решение				системы в матричной
A		= −		6 −10			−4			8	.	Тогда		решение				системы в матричной
						−2		1		1
			1		14		5	−13				9		1		−12			2
X = −			1			−10	−4		8				= −	1						, следовательно:
X = −			6			−10	−4		8		14		= −	6		−18	=		3	, следовательно:
					−2 1				1		16				12			−2

Вернемся к теореме 4 из пункта 1.2. Ранее эта теорема была оставлена без доказательства, теперь мы уже можем ее доказать.

Теорема 1.2.4

Если определитель СЛАУ n -ого порядка отличен от нуля ( ≠ 0), то системе имеет, и притом единственное, решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

x	=	1 , x	2	=	2 ,…, x = n .
1			2		n

Доказательство

При A ≠ 0 решение системы может быть найдено матричным методом, то есть:

A A

X =

A−1 B =

K K K K

b A

+b A

+K+b A

b1 A12 +b2 A22 +K+bn An2 .

LLLLLLLLLL

+b A

+K+b A

b A

1 1n

2 2n

n n n

Вспомним, что в формулах Крамера вспомогательные определители (

j )

получаются из

определителя системы заменой столбца коэффициентов при неизвестном

x j

столбцом

a11

a12

K a1, j−1

a1, j+1

K a1n

свободных

членов,

то

есть:

j =

a21

a22

K a2, j−1

a2, j+1

K a2n

где

K K

an1

an2

K an , j−1

an , j+1

K ann

j =1,2,Kn .

Разложим

эти

определители

по

элементам

j -ого

столбца:

j = b1A1 j +b2 A2 j

+K+bn An j

и подставим эти разложения в решение системы, получим:

X =

2 =

, где

определитель системы.

Отсюда следует, что решение

системы

действительно может

быть

найдено

по

формулам

Крамера:

x =

1 ,

x2 =

,…, xn

, при

≠ 0 .

2. X m×n An×n = Bm×n .

Теорема 3

Для матричного уравнения X A = B решение находится по формуле: X = B A−1 .

Доказательство

Пусть	A - невырожденная матрица, то есть	A	≠ 0 , из этого следует, что существует

обратная матрица A−1 . Умножим матричное уравнение X A = B справа на A−1 , получим:
X A A−1	= B A−1 , X E = B A−1 , откуда: X = B A−1 .
	19

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.201525.09 Кб25ТАУ-2.doc
#
18.04.201521.5 Кб19ТАУ-3.doc
#
01.03.20253.87 Mб0Тв. проект_7_ кл. (труд)2.docx
#
01.03.202544.03 Кб0ТГП 28.11.doc
#
01.04.2025368.71 Кб0Тема Управление денежными средствами и их экви...docx
#
18.04.2015577.53 Кб45Тема 1. Линейная алгебра.pdf
#
11.07.2019784.9 Кб15Тема 1_Объект, предмет и функции социологии.doc
#
18.04.2015586.35 Кб42Тема 2. Векторная алгебра.pdf
#
11.07.2019264.7 Кб4Тема 2_Структура и методология социологии.doc
#
18.04.201590.11 Кб72Тема 3 Проектирование.doc
#
01.03.202586.02 Кб1Тема 3 Проектирование.doc

Проверка

1.6. Матричные уравнения. Матричная запись СЛАУ. Формулы Крамера

Теорема 1

Доказательство

Теорема 2

Доказательство

Пример 1

Решение

Теорема 1.2.4

Доказательство

Теорема 3

Доказательство