|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
K a1n |
|
x = |
1 , x |
2 |
= |
2 ,…, x |
n |
= n , где |
= |
a21 |
a22 |
K a2n |
- определитель системы, а |
1 |
|
|
|
|
|
K |
K K K |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
an2 |
K ann |
|
|
|
|
a11 |
a12 |
K a1 j−1 |
b1 |
a1 j+1 |
K a1n |
|
|
вспомогательные |
определители: |
j = |
a21 |
a22 |
K a2 j−1 |
b2 |
a2 j+1 |
K a2n |
|
|
|
|
|
K |
K K |
K |
K |
K |
K K |
|
|
|
|
|
an1 |
an2 |
K an j−1 |
bn |
an j+1 |
K ann |
|
|
получаются из |
заменой столбца из коэффициентов при |
x j |
столбцом свободных членов |
|||||||
(j =1, 2,K, n). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 3
Доказательство теоремы 4 будет приведено далее.
1.3. Свойства определителей
Определение 1
a11 |
a12 |
K a1n |
|
||
a |
|
a |
K a |
|
заменой каждой ее |
Матрица, полученная из данной матрицы A = |
21 |
22 |
|
2n |
|
K |
K K K |
|
|||
|
|
an2 |
|
|
|
an1 |
K ann |
|
|||
строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной по отношению
a11
к данной, и обозначается: AT = a12
Ka1n
Свойство 1
a21 |
K an1 |
|
a22 |
K an2 |
|
. |
||
K K K |
|
|
a2n |
|
|
K ann |
||
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной.
Свойство 2
Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак.
Свойство 3
Определитель с двумя пропорциональными (в частности, равными) строками (столбцами) равен нулю.
Свойство 4
Если в определителе строка (столбец) целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Свойство 5
Общий множитель всех элементов какой либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
10
Свойство 6 Правило сложения определителей:
a11 |
|
a12 |
K a1n |
|
a11 |
a12 |
K a1n |
|
|
a11 |
a12 |
K a1n |
|
||||
a / +a// |
a |
/ +a // |
K a |
/ +a // |
= |
a / |
a / |
K a |
/ |
+ |
a// |
a // |
K a |
// |
, |
||
21 |
21 22 |
22 |
|
2n |
2n |
21 |
22 |
2n |
|
21 |
22 |
K |
2n |
|
|||
K |
|
K K |
|
K |
|
K K K K |
|
K K |
K |
|
|||||||
an1 |
|
an2 |
K |
|
ann |
|
an1 |
an2 |
K ann |
|
an1 |
an2 |
K |
ann |
|
||
т.е. если каждый элемент некоторой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, причем в одном из них соответствующая строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом – из вторых слагаемых, остальные же строки (столбцы) – те же, что и в исходном определителе.
Свойство 7
Определитель не изменится, если ко всем элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже числоλ :
a11 |
a12 |
K a1n |
|
a11 |
a12 |
K a1n |
|
|
a21 |
a22 |
K a2n |
= |
a21 +λa11 |
a22 +λa12 |
K a2n +λa1n |
. |
|
K |
K K K |
|
K |
K |
K |
K |
|
|
an1 |
an2 |
K ann |
|
an1 |
an2 |
K |
ann |
|
Определение 2
Верхней треугольной матрицей называется матрица вида:
a11 |
a12 |
|
|
0 |
a22 |
A = |
|
|
K K |
||
|
0 |
0 |
Определение 3
Ka1n
Ka2n
KK
Kann
.
a11 |
0 |
K |
0 |
|
|
a |
a |
|
K |
0 |
|
Нижней треугольной матрицей называется матрица вида: A = 21 |
|
22 |
|
|
. |
K |
K K K |
||||
|
an2 |
|
|
|
|
an1 |
K ann |
||||
Определение 4
a11
Диагональной матрицей называется матрица вида: A = 0
K0
Свойство 8
Определитель диагональной, треугольной (верхней и произведению диагональных элементов.
0 |
K |
0 |
|
a |
K |
0 |
|
22 |
|
|
. |
|
|
|
|
K K K |
|||
0 |
|
|
|
K ann |
|||
нижней) |
матрицы равен |
||
11
Определение 5
Минором элемента определителя ai j называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца. Обозначается: i j .
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Минор – это определитель, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.
Определение 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Алгебраическим дополнением |
элемента определителя ai j называется число: |
|||||||||
A |
= (−1)i+ j |
j |
, где |
i j |
- соответствующий минор. |
||||||
i j |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3 |
2 |
−1 |
|
. Вычислить 23 и A23 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Дан определитель: |
|
6 |
0 |
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
1 |
−3 |
|
|
Решение
Так как нужно вычислить минор и алгебраическое дополнение элемента a23 ,
3 2 −1
вычеркиваем в определителе вторую строку и третий столбец: 6 0 5 . Тогда:
−4 1 −3
|
= |
3 2 |
=11 , A = (−1)2+3 |
|
= −11. |
23 |
|
−4 1 |
23 |
23 |
|
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Так как знак перед минором в алгебраическом дополнении определяется только местом элемента в определителе, то правило выбора знаков выглядит следующим образом:
+− +
−+ − .
+− +
Свойство 9
Теорема разложения
Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Это означает, что если взять в определителе i -ую строку, то его величину можно вычислить по следующей формуле: ai1Ai1 +ai2 Ai2 +K+ain Ain . Такой способ вычисления
определителя называется разложением его по элементам i -ой строки (аналогично определяется разложение определителя по элементам j -ого столбца).
Пример 2
1 2 3
Вычислить определитель: = 3 4 5 , разложив его по элементам первого столбца.
7 1 2
12