Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тема 1. Линейная алгебра.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

577.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Определение 3

→→ →

Векторы x , x

,K, x

называются линейно зависимыми,

если существует набор

чисел: c1 , c2 ,K,cn ,

среди

которых

хотя

бы

одно

отлично

от нуля,

такой что

→

c1 x1

+c2 x2 +K+cn xn

0 .

Пример 1

→

линейно зависимыми или

Определить являются ли векторы: x1

1 ,

они линейно независимы.

Решение

→

Так как: x3 = x1 + x2 ,

можно составить линейную комбинацию,

равную нулевому вектору

→

(нулевую линейную комбинацию): 1 x1 +1

+(−1) x3 =

0 , в которой c1 = c2

=1, c3 = −1 .

Поскольку мы указали ненулевой набор чисел 1,

−1,

такой, что линейная комбинация

→

→ →

равна нулевому вектору, то из определения следует, что x1 , x2 , x3

- линейно зависимы.

Пример 2

→

Определить являются ли векторы:

линейно зависимыми

или они линейно независимы.

Решение

→

Так как: c1 x1

+ c2

+ c3 x3

= 0 только при c1

= c2

= c3

= 0 , из определения следует, что

→→ →

x1 , x2 , x3 - линейно независимы.

Теорема 1

→→ →

Векторы x1 , x2 ,K, xn Rn линейно зависимы тогда и только тогда, когда какой – то один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Теорема 2

→→ →

Векторы x1 , x2 ,K, xn Rn линейно независимы тогда и только тогда, когда ни один из них нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.

1.13. Размерность линейного пространства. Базис

Определение 1

Размерностью линейного пространства называется максимальное число линейно независимых векторов этого пространства.

Теорема 1

В n - мерном пространстве любые (n +1) векторов – линейно зависимые.

Доказательство

	x
→	11
Рассмотрим векторы: x	= x21	,
1	K

	xn1

нулевую линейную комбинацию

	x
→	12
x	= x22	, K ,
2	K

	xn2

этих векторов:

		x				x
			1n				1,n+1
→	=	x2n			→	= x2,n+1
x	=	x2n		,	x	= x2,n+1		. Составим
n			K		n+1		K
			x
			x			x
			nn				n,n+1
	→			→			→	→	→
c1x1 +c2 x2					+K+cn xn +cn+1 x n+1= 0 .

				→ →	→ →
Подставим	в	это	равенство	x1 , x2 ,K, xn , x n+1 :

x11 c1 Kx21 +xn1

x12 c2 x22

Kxn2

+K+

x1n

cn xK2n

xnn

	x1,n+1
+c	x
+c		2,n+1
	n+1	K

	x
		n,n+1

	0
	0
=	0	. Получили векторное равенство,
K
	0
	0

которому		соответствует		однородная СЛАУ относительно				с1, с2 ,K, сn , сn+1 :
x c + x c +K+ x c + x c					= 0
11 1	12 2	1n n	1,n	+1 n+1
x21c1 + x22c2		+K+ x2ncn	+ x2,n+1cn+1			= 0	r( A) = r(B) < n (число неизвестных равно
						. Так как:	r( A) = r(B) < n (число неизвестных равно
LLLLLLLLLLLLLLL
x c	+ x c	+K+ x c	+ x	c		= 0
n1 1	n2 2	nn n	n,n+1 n+1
								→ →	→ →

(n +1)), система имеет ненулевые решения, из чего следует, что векторы x1 , x2 ,K, xn , x n+1 линейно зависимы.

Определение 2

Базисом в линейном пространстве называется набор линейно независимых векторов, такой, что любой вектор этого пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

					→ →	→	→
Это означает,			что		x1 , x2 ,K, xn		образуют базис x	R может быть представлен в
→	→		→			→	При этом числа с1, с2 ,K, сn называются координатами
виде: x	= c1 x1	+c2 x2		+K+cn xn .			При этом числа с1, с2 ,K, сn называются координатами

→

вектора x в данном базисе.

Теорема 2

В линейном пространстве Rn базис образуют n линейно независимых векторов.

Доказательство

→

Rn -

→

→ →

→

Rn , будут по

Если

x , x

,K, x

линейно независимы,

то x , x

,K, x

, x , где

теореме

линейно

зависимы.

Следовательно,

существует

ненулевой

набор чисел

с1, с2 ,K, сn , сn+1 , такой, что:

→

(1)

c1 x1

+c2 x2 +K+ cn xn + cn+1 xn+1

= 0 .

Заметим, что cn+1 заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае из векторного

равенства (1) вытекала

→ →

→

бы линейная зависимость

x1 , x2 ,K, xn ).

Но тогда, поделив

равенство (1)

на c

и положив α = −

,α

= −

,K,α

= −

, получим из

(1):

n+1

cn+1

→

=α

→

+K+α

→

Rn ,

x +α

. Отсюда, так как

x - произвольный вектор пространства

→

x1 , x2 ,K, xn

- базис по определению.

Теорема 3

→

		→	→			→		Rn .
Пусть		x , x		2	,K, x		n	Rn .
		1		2			n
x1n
x			были				линейно
=	2n		были				линейно
	K

xnn

		x				x
	→	11			→	12
Для того, чтобы	векторы: x	= x21		,	x	= x22	, K ,
	1	K			2	K

		xn1				xn2
независимыми	необходимо	и	достаточно,				чтобы:

	x11	x12	K x1n
=	x21	x22	K x2n	≠ 0 .
	K	K K K
	xn1	xn2	K xnn

Доказательство

→

Составим нулевую линейную

комбинацию

этих

векторов:

c1x1

+c2 x2

+K+cn xn

= 0 .

→

: c

x21

x22

x2n

Подставим в это выражение

x , x

,K, x

. Получили

xn1

xn2

xnn

векторное равенство, которому соответствует однородная СЛАУ относительно c1 ,c2 ,K,cn :

x c + x c +K+ x c = 0

K x

11 1

12 2

1n n

x21c1 + x22c2 +K+ x2ncn = 0 .

Матрица

этой системы: A

= x21

x22

K x2n

n×n

K K K

LLLLLLLLLLL

x c

+ x c

+K+ x c = 0

K x

n1 1

n2 2

nn n

квадратная, поэтому, если

≠ 0 ,

система имеет только нулевое решение. Из этого

→→ →

следует, что векторы x1 , x2 ,K, xn - линейно независимы.

Пример

→

−5

→

−4

→

Образуют ли векторы: x =

, x

базис? Если да, то разложить

−1

→

по этому базису.

вектор x

−1

−2

Решение

−5

− 4

= 2 ≠ 0

(по

теореме

векторы

–

линейно независимы.

−1

→

R3 можно разложить

Следовательно (по теореме 2),

x , x

, x

образуют базис. Тогда

по этому базису, то есть представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

→

→ → →

x = c1 x1 +c2 x2

+c3 x3 .

Подставим

это

равенство

x1 , x2 , x3 :

−5

−4

−1

= c

. Получили векторное равенство, которому соответствует

−2

−1

−5c −4c +7c = 9

c1 ,c2 ,c3

СЛАУ

относительно

3c2 +8c3 = −1 .

Решим ее методом

Гаусса.

+c2

−c3 = −2

			c1	c2	c3			c1	c2	c3

		−5		−4 7		9	1		1	−1


		0		3	8			0	3	8
B =		0		3	8	−1		0	3	8

		1		1	−1	−2		−5 −4 7


	c1 c2 c3								c1 c2 c3

1 1 −1

0 1 2

0 3 8

c1 c2 c3

1 0 0

0 1 00 0 1

	−2			1		0	−3

	−1	(−	1) (−	3)	0	1	2



	−1				0	0	2

	2			c		= 2
					1	= −3,
	.	Получим: c2
−3						=1
				c3
	1

−2 (5)

−1

−2

−1

0 3 8

−1

1 0 −3

−1

0 1 2

−1

: (2)

(−2)

(3)

→

−3

то есть

2x −3 x + x =

, где

→ → → →

c1 , c2 , c3 - координаты вектора x в базисе векторов x1, x2 , x3 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.201525.09 Кб25ТАУ-2.doc
#
18.04.201521.5 Кб19ТАУ-3.doc
#
01.03.20253.87 Mб0Тв. проект_7_ кл. (труд)2.docx
#
01.03.202544.03 Кб0ТГП 28.11.doc
#
01.04.2025368.71 Кб0Тема Управление денежными средствами и их экви...docx
#
18.04.2015577.53 Кб45Тема 1. Линейная алгебра.pdf
#
11.07.2019784.9 Кб15Тема 1_Объект, предмет и функции социологии.doc
#
18.04.2015586.35 Кб42Тема 2. Векторная алгебра.pdf
#
11.07.2019264.7 Кб4Тема 2_Структура и методология социологии.doc
#
18.04.201590.11 Кб72Тема 3 Проектирование.doc
#
01.03.202586.02 Кб1Тема 3 Проектирование.doc