Решение

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тема 1. Линейная алгебра.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

577.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Решение
		x1		x2	x3				x1 x3 x2
1				−1 1		0	1 0			−5	−2	. Так как в матрице, полученной из матрицы	A
1				−1 1		0	1 0			−5	−2

B =	1		3		2	2		0	1	4	2
	2		2		3	5		0	0	0	3

в результате применения метода Гаусса, все миноры 3-го порядка равны нулю, но есть

минор 2-го порядка, отличный от нуля:

=1 ≠ 0 , то r( A) = 2 . А в матрице, полученной

из

расширенной

матрицы

B , есть

минор

3-го

порядка,

отличный

от нуля:

−2

= 3 ≠ 0 , то r(B) = 3 . Следовательно,

r( A) ≠ r(B) и система не имеет решений.

1.10. Однородные СЛАУ

Определение 1

Система

линейных

алгебраических уравнений

с n

неизвестными

называется

однородной

(однородной СЛАУ), если все свободные

члены

= 0 , где i =1,2,K, m :

a x +a x +K+a x = 0

11 1

1n n

a21x1

+a22 x2 +K+a2n xn = 0

LLLLLLLLLLL

x +K+a x = 0

m1 1

mn n

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Однородная СЛАУ всегда совместна, она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение:

							0
							0
x = 0 , x		= 0 , K, x	= 0 или X =				0	.
1	2	n				K
1	2	n
						0
Рассмотрим		матрицу	однородной				системы:
					x1	x2		K	xn
				a		a		K	a
расширенную матрицу: B				11		12			1n
расширенную матрицу: B				= a21		K		K a2n
		m×(n+1)		K K K K
						am2		K amn
				am1		am2		K amn

	a11			a12	K a1n
A	a			a	K a	и ее
A	=		21	22	2n	и ее
m×n		K		K	K K
				am2
	am1			am2	K amn

0 .

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Так как матрица B отличается от матрицы A только нулевым столбцом, что не дает новых миноров, отличных от нуля, то у однородной СЛАУ r( A) = r(B) .

Теорема 1 (теорема Кронекера-Капелли для однородной СЛАУ )

Если r( A) = r(B) = n , то однородная СЛАУ имеет единственное решение (нулевое). Если r( A) = r(B) < n , то однородная СЛАУ имеет бесконечно много решений (есть ненулевые решения).

Пример 1

x	−2x	2	+ x	3	+ x	4	= 0
1		2		3		4
Имеет ли однородная СЛАУ: 2x1 −7x2 + x3 − x4								= 0 ненулевые решения и какие?
								= 0
3x1 −12x2 + x3 − x4								= 0

Решение

Выпишем расширенную матрицу системы и выполним действия по методу Гаусса:

		x1 x2 x3						x4											x1		x2	x3		x4
	1			−2 1 1							0		(−2) (−3) 1							−2 1						1	0
	1			−2 1 1							0		(−2) (−3) 1							−2 1						1	0
B =																														(−1)

		2		−7 1 −1							0								0	−3 −1				−3			0		:
		3	−12 1 −1								0								0	−6 −2				−4			0		:	(−2)


	x1		x2			x3	x4						x1		x3	x2	x4									x1			x3		x2	x4
1			−2 1 1					0				1 1 −2 1						0							1 0					−5		−2		0
1			−2 1 1					0				1 1 −2 1						0							1 0					−5		−2		0

	0	3 1 3						0				0 1 3 3						0		(−1) (−1)						0 1 3						3	0
	0	3 1 3						0				0 1 3 3						0		(−1) (−1)						0 1 3						3	0


	0	3 1 2						0				0 1 3 2						0								0 0 0						−1	0		: (−1)
	0	3 1 2						0				0 1 3 2						0								0 0 0						−1	0		: (−1)

	x1		x3			x2	x4							x1	x3	x4		x2										x1 x3 x4 x2
1 0 −5 −2									0				1 0			−2 −5				0							1 0 0					−5			0



	0		1		3		3			0				0	1	3	3			0								0		1	0	3			0	. Так как
	0		1		3		3			0				0	1	3	3			0								0		1	0	3			0	. Так как


	0		0		0		1			0				0	0	1	0			0	(−3)			(2)				0		0	1	0			0
	0		0		0		1			0				0	0	1	0			0	(−3)			(2)				0		0	1	0			0
																				1	0	0	=1 ≠ 0 , то r( A) = r(B) = 3 . Поскольку
																				1	0	0
есть минор 3-го порядка, отличный от нуля:																				0	1	0
																				0	0	1

число неизвестных: n = 4 , то r( A) = r(B) < n . Из этого следует, что система имеет

ненулевые решения. Эти решения можно записать в виде:

вещественное число), при t ≠ 0 : X - ненулевой.

5t
	t
X =	t	, ( t - любое
	−3t
	−3t
	0

Определение 2
Пусть однородная СЛАУ имеет k	ненулевых решений X1, X 2 ,K, X k . Эти решения
образуют фундаментальную систему, если любое решение системы X ,		можно представить
в виде: X = c1 X1 +c2 X 2 +K+ck Xk ,	где c1, c2 ,K, ck - произвольные	постоянные. Это

выражение называется линейной комбинацией решений X1, X 2 ,K, X k . При этом, если ранг

матрицы системы с n неизвестными	равен			r , то число решений в фундаментальной
системе (число свободных неизвестных): k = n −r .
Пример 2
x −	2x	+ x	+ x =		0
1	2	3		4
Имеет ли однородная СЛАУ: 2x1 +3x2 + x3 +4x4					= 0 ненулевые решения? Если да, то
x +	5x	+3x		= 0
1	2	4

найти их, выписав фундаментальную систему решений.

Решение

Выпишем расширенную матрицу системы и выполним действия по методу Гаусса:

		x1	x2		x3 x4									x1 x2				x3	x4				x1	x2 x3		x4
		1	−2 1			1		0	(−2) (−1) 1							−2 1 1					0		1 −2 1 1				0
		1	−2 1			1		0	(−2) (−1) 1							−2 1 1					0
B =		2	3 1			4		0					0		7			−1 2			0
B =		2	3 1			4		0					0		7			−1 2			0		0 7 −1 2					(−1)
		1	5 0			3		0					0		7			−1 2			0		0 7 −1 2				0	(−1)


	x1 x2			x3 x4							x1	x3 x2	x4								x1 x3		x2	x4
1 −2 1 1							0			1 1 −2 1						0				1 0 5 3					0
1 −2 1 1							0			1 1 −2 1						0				1 0 5 3					0
																									.
	0 −7 1 −2																(−1)				0 1	−7 −2			.
	0 −7 1 −2						0 0 1 −7 −2									0	(−1)				0 1	−7 −2			0
Один			из		миноров				2-го			порядка		отличен				от	нуля:			1	0	=1 ≠ 0 ,		следовательно
Один			из		миноров				2-го			порядка		отличен				от	нуля:			1	0	=1 ≠ 0 ,		следовательно
																						0	1

r( A) = r(B) = 2 . Так как число неизвестных: n = 4 , то r( A) = r(B) < n . Из этого следует, что система имеет бесконечно много решений (есть ненулевые решения), которые можно

x	= −5x	−3x	x1 , x3 - базисные неизвестные, x2 , x4 - свободные
записать в виде: 1	2	4 , где	x1 , x3 - базисные неизвестные, x2 , x4 - свободные
x3 = 7x2 +2x4

неизвестные (любые вещественные числа). Найдем их. Поскольку число свободных

неизвестных:						k = n −r = 2 ,			то в фундаментальной системе будет два решения. Обозначив:
x		= c		,			получим					решение						системы					в				виде:
2			1	,			получим					решение						системы					в				виде:
x4 = c2
		x1			−5c1 −3c2				−5			−3									−5					−3
X		x				c +0c		= c		1	+c		0	= c X		+c X		, где	X			1	,	X			0	-
X	=		2		=	1	2	= c		7	+c		2	= c X		+c X		, где	X		=	7	,	X		=	2	-
		x				7c	+2c	1		7	2		2	1	1	2	2			1		7			2		2
			3			1	2			0			1									0					1
		x4				0c1 +c2				0			1									0					1

фундаментальная система решений.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.201525.09 Кб25ТАУ-2.doc
#
18.04.201521.5 Кб19ТАУ-3.doc
#
01.03.20253.87 Mб0Тв. проект_7_ кл. (труд)2.docx
#
01.03.202544.03 Кб0ТГП 28.11.doc
#
01.04.2025368.71 Кб0Тема Управление денежными средствами и их экви...docx
#
18.04.2015577.53 Кб45Тема 1. Линейная алгебра.pdf
#
11.07.2019784.9 Кб15Тема 1_Объект, предмет и функции социологии.doc
#
18.04.2015586.35 Кб42Тема 2. Векторная алгебра.pdf
#
11.07.2019264.7 Кб4Тема 2_Структура и методология социологии.doc
#
18.04.201590.11 Кб72Тема 3 Проектирование.doc
#
01.03.202586.02 Кб1Тема 3 Проектирование.doc

Решение

1.10. Однородные СЛАУ

Определение 1

Теорема 1 (теорема Кронекера-Капелли для однородной СЛАУ )

Пример 1

Решение

Определение 2

Пример 2

Решение