1.9. Ранг матрицы. Теорема Кронекера

Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли

3. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:

Пример 3

Решение

Пример 1

Решение

Преобразования, не меняющие ранг матрицы:

Пример 2

Теорема Кронекера – Капелли

Пример 1

Пример 2

Решение

Пример 3

3. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:

Пример 3

Решение

Определение 1

Пример 1

Решение

Определение 2

Преобразования, не меняющие ранг матрицы:

Пример 2

Решение

Теорема Кронекера – Капелли

Пример 1

Решение

Пример 2

Решение

Пример 3

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тема 1. Линейная алгебра.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

577.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

неизвестные,

- свободная неизвестная. Если обозначить x3

= t

( t - любое вещественное

−t

число), решение системы можно записать в виде: X =

−t .

х1

K xk

xk +1 xk +2 K xn

1 0 L 0 0 0 L 0

0 1

0 0 0 L

L L L L L L L L

, где хотя бы одно из чисел ck +1,K, cn отлично от

0 0 L

0 0

0 0 0 L

k +1

L L L L L L L L

0 0

0 0 0 L

нуля. В этом случае система не имеет решений.

x	− x	2	+ x	3	=	0
1		2		3
Решить СЛАУ: x1	+3x2 + 2x3					= 2 .

2x1 + 2x2 +3x3 = 5

Выпишем расширенную матрицу системы и выполним действия по методу Гаусса:

	x1 x2		x3								x1 x2 x3			x1 x3 x2
1		−1 1				0	(−1) (−2)			1 −1 1		0	1 1 −1		0





	1 3 2					2					0 4 1	2		0 1 4	2		(−1) (−1)
	2 2 3					5					0 4 1	5		0 1 4	5



		x1	x3		x2
		x1	x3		x2
	1		0	−5			−2	. Последнее уравнение системы имеет								вид: 0 = 3 . Следовательно,
	1		0	−5			−2
		0	1	4			2
		0	1	4			2
		0	0	0			3


данная система несовместна.
							1.9.		Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли
Определение 1
	Пусть в матрице								Am×n	выбраны произвольно				k строк и		k		столбцов ( k ≤ min(m, n) ).

Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k , определитель которой называется минором k -ого порядка матрицы A .

какой-нибудь минор третьего порядка.

	5	0	= 5 - минор второго порядка,	−1	3	4	=18 - минор третьего порядка.


				0	2	7
	−3	1		1	1	1
Определение 2				1	1	1
Определение 2
Наивысший порядок отличного от нуля					минора матрицы A называется ее рангом.
Обозначается r( A) .

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Если ранг матрицы равен k , то из этого следует, что среди миноров k -ого порядка хотя бы один отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю.

1.перемена местами строк (столбцов);

2.умножение (деление) строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3.прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число;

4.вычеркивание одной из двух пропорциональных (в частности, равных) строк (столбцов);

5.вычеркивание нулевой строки (столбца).

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Обращаем Ваше внимание, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, поэтому ранг матрицы удобно находить методом Гаусса.

1		−2	3	4
	2	5	−2	6
Найти ранг матрицы: A =					.
	−3	4	−1	2

Решение
		1 −2		3 4 (−2)				(3)			1 −2		3	4		1 −2	3 2


A =			2 5	−2 6								0 9	−8 −2			0 9 −8 −1
			−3 4	−1 2								0 −2 8 14				0 −2 8 7
			−3 4	−1 2								0 −2 8 14				0 −2 8 7
1		1 3 2						1 0 11 3						: (2)
														: (2)


	0	1			(−6)				0 1					Так	как	можно	указать	минор 3-го

			−8 −1 (−1)									−8 −1 .
	0	6 8 7							0 0 56 13
	0	6 8 7							0 0 56 13
						1	0		11	= 56 ≠ 0 , то r( A) = 3 .
						1	0		11
порядка, отличный от нуля:						0	1		−8
						0	0		56

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n

a x +a x +K+a x = b

1n n

a21x1 +a22 x2 +K+a2n xn

= b2

LLLLLLLLLLLL

x +a x

+a x

= b

mn n

a11

a12

K a1n

K a

m×n

K K K

am2

am1

K amn

= a21

K K a2n

b2 .

m×(n+1)

K K K K

am1

am2 K amn

Выпишем матрицу этой

и ее расширенную

неизвестными:

системы:

матрицу:

1.Для того чтобы СЛАУ была совместна, необходимо и достаточно, чтобы r( A) = r(B) .

2.Это решение единственно тогда и только тогда, когда r( A) = r(B) = n .

3.Если r( A) = r(B) < n , то СЛАУ имеет бесконечно много решений.

Прокомментируем эту теорему примерами из пункта 1.8., выписывая расширенные матрицы систем и матрицы, полученные из расширенной в результате применения метода Гаусса.

2x		+3x	+2x = 9
	1	2	3
Решить СЛАУ: x1	+2x2 −3x3 =14 .
		+4x2	+ x3 =16
3x1

Решение
	x1 x2		x3						x1 x2		x3
	2	3	2		9			1		0	0	2	. Так как можно указать минор 3-го порядка,


B =	1	2	−3		14				0	1	0	3
	3	4	1		16				0	0	1	−2


				1		0	0	=1 ≠ 0 , то r( A) = r(B) = 3. А так как число неизвестных: n = 3 ,

отличный от нуля:				0		1	0
				0		0	1

то r( A) = r(B) = n . Из этого, по теореме Кронекера – Капелли, следует, что система имеет

x1 = 2

x = 3

единственное решение, которое имеет вид: 2 .

x3 = −2

2x		− x	+ x	= 0
	1	2	3
Решить СЛАУ: −x1 +3x2 +2x3 = 2 .
x	+2x		+3x		= 2
1		2	3

		x1	x2	x3					x1 x2 x3
2			−1 1			0		1 0 1
2			−1 1			0		1 0 1
	−1 3			2		2
B =	−1 3			2		2
	1		2	3		2			0 1	1
									0 1	1

					1		0
								=1 ≠ 0 ,		то
отличный от нуля:								=1 ≠ 0 ,		то
					0		1

2 5 . Так как можно указать минор 2-го порядка,

r( A) = r(B) = 2 . Число неизвестных: n = 3 , значит

r( A) = r(B) < n. Из этого, по теореме Кронекера – Капелли, следует, что система имеет

бесконечно много решений. Все эти решения можно записать в виде:

x3 = t - любое вещественное число.

x	− x	+ x	= 0
1	2	3
Решить СЛАУ: x1	+3x2 +2x3 = 2 .
2x +2x +			3x = 5
	1	2	3

2
	5	−t
	4
X =	4	−t	, где
	5
		t

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.201525.09 Кб25ТАУ-2.doc
#
18.04.201521.5 Кб19ТАУ-3.doc
#
01.03.20253.87 Mб0Тв. проект_7_ кл. (труд)2.docx
#
01.03.202544.03 Кб0ТГП 28.11.doc
#
01.04.2025368.71 Кб0Тема Управление денежными средствами и их экви...docx
#
18.04.2015577.53 Кб45Тема 1. Линейная алгебра.pdf
#
11.07.2019784.9 Кб15Тема 1_Объект, предмет и функции социологии.doc
#
18.04.2015586.35 Кб42Тема 2. Векторная алгебра.pdf
#
11.07.2019264.7 Кб4Тема 2_Структура и методология социологии.doc
#
18.04.201590.11 Кб73Тема 3 Проектирование.doc
#
18.04.2015165.38 Кб15Тема 4 Методы и приемы инж деят.doc

. Найти в ней какой-нибудь минор второго порядка и

Дана матрица: A =