
- •1. Элементы линейной алгебры (14 часов)
- •1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Система линейных алгебраических уравнений
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Определение 6
- •Определениe 7
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Теорема 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Теорема 3
- •Пример
- •Решение
- •Теорема 4
- •1.3. Свойства определителей
- •Определение 1
- •Свойство 1
- •Свойство 2
- •Свойство 3
- •Свойство 4
- •Свойство 5
- •Свойство 7
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Свойство 8
- •Определение 5
- •Определение 6
- •Пример 1
- •Решение
- •Свойство 9
- •Теорема разложения
- •Пример 2
- •Решение
- •1 способ
- •2 способ
- •Свойство 10
- •1.4. Матрицы. Действия с матрицами
- •Сложение матриц
- •Умножение на число
- •Умножение матриц
- •Пример
- •Решение
- •Определение
- •Теорема
- •1.5. Обратная матрица
- •Определение 1
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Пример
- •Решение
- •Проверка
- •1.6. Матричные уравнения. Матричная запись СЛАУ. Формулы Крамера
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Решение
- •Теорема 1.2.4
- •Доказательство
- •Теорема 3
- •Доказательство
- •Пример 2
- •Решение
- •1.7. Расширенная матрица СЛАУ. Элементарные преобразования
- •Определение 1
- •Определение 2
- •1.8. Метод Гаусса
- •1. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:
- •Пример 1
- •Решение
- •2. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:
- •Пример 2
- •Решение
- •3. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:
- •Пример 3
- •Решение
- •1.9. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли
- •Определение 1
- •Пример 1
- •Решение
- •Определение 2
- •Преобразования, не меняющие ранг матрицы:
- •Пример 2
- •Решение
- •Теорема Кронекера – Капелли
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •1.10. Однородные СЛАУ
- •Определение 1
- •Теорема 1 (теорема Кронекера-Капелли для однородной СЛАУ )
- •Пример 1
- •Решение
- •Определение 2
- •Пример 2
- •Решение
- •Теорема 2
- •Пример 3
- •Решение
- •1.11. Определение линейного пространства
- •Определение 1
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Определение 2
- •1.12. Линейная зависимость и независимость векторов в
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Теорема 1
- •Теорема 2
- •1.13. Размерность линейного пространства. Базис
- •Определение 1
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Определение 2
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Теорема 3
- •Доказательство
- •Пример
- •Решение
- •Евклидово пространство. Нормированное пространство. Ортонормированный базис
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Теорема
- •(Неравенство Коши – Буняковского)
- •Доказательство
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Определение 6
- •Теорема 3
- •Доказательство
- •Определение 7
- •1. Элементы линейной алгебры (12 часов).

неизвестные, |
x3 |
- свободная неизвестная. Если обозначить x3 |
= t |
( t - любое вещественное |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
5 |
−t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
число), решение системы можно записать в виде: X = |
x |
|
= |
4 |
−t . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
х1 |
x2 |
K xk |
xk +1 xk +2 K xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 0 L 0 0 0 L 0 |
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 1 |
L |
0 0 0 L |
0 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L L L L L L L L |
|
L |
|
, где хотя бы одно из чисел ck +1,K, cn отлично от |
||||||||||||||
|
0 |
0 |
L |
1 |
0 0 L |
0 |
|
c |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 0 |
L |
0 0 0 L |
0 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L L L L L L L L |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 0 |
L |
0 0 0 L |
0 |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нуля. В этом случае система не имеет решений.
Пример 3
x |
− x |
2 |
+ x |
3 |
= |
0 |
1 |
|
|
|
|
||
Решить СЛАУ: x1 |
+3x2 + 2x3 |
= 2 . |
2x1 + 2x2 +3x3 = 5
Решение
Выпишем расширенную матрицу системы и выполним действия по методу Гаусса:
|
|
x1 x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 x3 |
|
|
|
x1 x3 x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
−1 1 |
|
0 |
(−1) (−2) |
1 −1 1 |
|
0 |
|
1 1 −1 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 3 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 4 1 |
|
2 |
|
|
0 1 4 |
|
2 |
|
(−1) (−1) |
||||||||||||
|
2 2 3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 4 1 |
|
5 |
|
|
0 1 4 |
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x1 |
x3 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
0 |
−5 |
|
|
−2 |
. Последнее уравнение системы имеет |
вид: 0 = 3 . Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
1 |
4 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
данная система несовместна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.9. |
Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли |
||||||||||||||||||||
Определение 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Пусть в матрице |
|
Am×n |
выбраны произвольно |
k строк и |
k |
|
столбцов ( k ≤ min(m, n) ). |
Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k , определитель которой называется минором k -ого порядка матрицы A .
24
Пример 1
2 |
−1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
5 |
0 |
2 |
7 |
|
. Найти в ней какой-нибудь минор второго порядка и |
Дана матрица: A = |
|
|||||
|
−3 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
какой-нибудь минор третьего порядка.
Решение
|
5 |
0 |
|
= 5 - минор второго порядка, |
|
−1 |
3 |
4 |
|
=18 - минор третьего порядка. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
2 |
7 |
|
||||
|
−3 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
Определение 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Наивысший порядок отличного от нуля |
минора матрицы A называется ее рангом. |
|||||||||
Обозначается r( A) . |
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Если ранг матрицы равен k , то из этого следует, что среди миноров k -ого порядка хотя бы один отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю.
Преобразования, не меняющие ранг матрицы:
1.перемена местами строк (столбцов);
2.умножение (деление) строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3.прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число;
4.вычеркивание одной из двух пропорциональных (в частности, равных) строк (столбцов);
5.вычеркивание нулевой строки (столбца).
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Обращаем Ваше внимание, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, поэтому ранг матрицы удобно находить методом Гаусса.
Пример 2
1 |
−2 |
3 |
4 |
|
|
|
2 |
5 |
−2 |
6 |
|
Найти ранг матрицы: A = |
. |
||||
|
−3 |
4 |
−1 |
2 |
|
|
|
25

Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 −2 |
3 4 (−2) |
(3) |
|
|
1 −2 |
3 |
4 |
|
|
1 −2 |
3 2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A = |
2 5 |
−2 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 9 |
−8 −2 |
|
|
|
0 9 −8 −1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
−3 4 |
−1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −2 8 14 |
|
|
|
0 −2 8 7 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
1 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 11 3 |
|
: (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
(−6) |
|
|
0 1 |
|
|
|
Так |
|
как |
|
можно |
указать |
|
минор 3-го |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
−8 −1 (−1) |
|
|
−8 −1 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
6 8 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 56 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
11 |
|
= 56 ≠ 0 , то r( A) = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
порядка, отличный от нуля: |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Кронекера – Капелли
Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n
a x +a x +K+a x = b |
|
|
|
|||||||||||||
11 |
1 |
|
12 |
2 |
|
|
|
1n n |
|
1 |
|
|
|
|
||
a21x1 +a22 x2 +K+a2n xn |
= b2 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
LLLLLLLLLLLL |
|
|
|
|||||||||||||
a |
x +a x |
+K |
+a x |
|
= b |
|
|
|
||||||||
|
m1 |
1 |
|
|
m2 |
2 |
|
|
|
mn n |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
|
K a1n |
|
|
|
||||||
A |
|
= |
a |
21 |
|
a |
22 |
|
K a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
||||||
m×n |
|
|
K |
|
K K K |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
am2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
am1 |
|
K amn |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
x2 |
|
K |
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
K |
|
a |
|
b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
1n |
|
1 |
|
|||
B |
|
|
= a21 |
|
K K a2n |
|
b2 . |
|||||||||
m×(n+1) |
|
K K K K |
|
K |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
|
am2 K amn |
|
bm |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Выпишем матрицу этой
и ее расширенную
неизвестными:
системы:
матрицу:
1.Для того чтобы СЛАУ была совместна, необходимо и достаточно, чтобы r( A) = r(B) .
2.Это решение единственно тогда и только тогда, когда r( A) = r(B) = n .
3.Если r( A) = r(B) < n , то СЛАУ имеет бесконечно много решений.
Прокомментируем эту теорему примерами из пункта 1.8., выписывая расширенные матрицы систем и матрицы, полученные из расширенной в результате применения метода Гаусса.
Пример 1
2x |
+3x |
+2x = 9 |
|
|
1 |
2 |
3 |
Решить СЛАУ: x1 |
+2x2 −3x3 =14 . |
||
|
|
+4x2 |
+ x3 =16 |
3x1 |
26
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x1 x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
x1 x2 |
x3 |
|
|
|
|||||||
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
9 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
2 |
|
. Так как можно указать минор 3-го порядка, |
||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B = |
1 |
2 |
−3 |
|
14 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
3 |
|
|
||||||
|
3 |
4 |
1 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
−2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
=1 ≠ 0 , то r( A) = r(B) = 3. А так как число неизвестных: n = 3 , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
отличный от нуля: |
|
0 |
1 |
0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то r( A) = r(B) = n . Из этого, по теореме Кронекера – Капелли, следует, что система имеет
x1 = 2
x = 3
единственное решение, которое имеет вид: 2 .
x3 = −2
Пример 2
2x |
− x |
+ x |
= 0 |
||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
Решить СЛАУ: −x1 +3x2 +2x3 = 2 . |
|||||
x |
+2x |
+3x |
|
= 2 |
|
1 |
2 |
3 |
|
Решение
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
x1 x2 x3 |
|
|||
2 |
−1 1 |
|
|
0 |
|
|
|
1 0 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
−1 3 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
=1 ≠ 0 , |
то |
|
||||||||||
отличный от нуля: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
2 5 . Так как можно указать минор 2-го порядка,
4
5
r( A) = r(B) = 2 . Число неизвестных: n = 3 , значит
r( A) = r(B) < n. Из этого, по теореме Кронекера – Капелли, следует, что система имеет
бесконечно много решений. Все эти решения можно записать в виде:
x3 = t - любое вещественное число.
Пример 3
x |
− x |
+ x |
= 0 |
1 |
2 |
3 |
|
Решить СЛАУ: x1 |
+3x2 +2x3 = 2 . |
||
2x +2x + |
3x = 5 |
||
|
1 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
5 |
−t |
|
|
|
4 |
|
|
|
X = |
−t |
, где |
||
|
5 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27