Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Тема 1. Линейная алгебра.pdf
Скачиваний:
45
Добавлен:
18.04.2015
Размер:
577.53 Кб
Скачать

неизвестные,

x3

- свободная неизвестная. Если обозначить x3

= t

( t - любое вещественное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

5

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

число), решение системы можно записать в виде: X =

x

 

=

4

t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

х1

x2

K xk

xk +1 xk +2 K xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 L 0 0 0 L 0

 

c1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

L

0 0 0 L

0

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L L L L L L L L

 

L

 

, где хотя бы одно из чисел ck +1,K, cn отлично от

 

0

0

L

1

0 0 L

0

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

L

0 0 0 L

0

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L L L L L L L L

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

L

0 0 0 L

0

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нуля. В этом случае система не имеет решений.

Пример 3

x

x

2

+ x

3

=

0

1

 

 

 

 

Решить СЛАУ: x1

+3x2 + 2x3

= 2 .

2x1 + 2x2 +3x3 = 5

Решение

Выпишем расширенную матрицу системы и выполним действия по методу Гаусса:

 

 

x1 x2

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2 x3

 

 

 

x1 x3 x2

 

 

 

 

 

1

1 1

 

0

(1) (2)

1 1 1

 

0

 

1 1 1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3 2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0 4 1

 

2

 

 

0 1 4

 

2

 

(1) (1)

 

2 2 3

 

5

 

 

 

 

 

 

 

0 4 1

 

5

 

 

0 1 4

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

x3

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

5

 

 

2

. Последнее уравнение системы имеет

вид: 0 = 3 . Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

0

1

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

данная система несовместна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли

Определение 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в матрице

 

Am×n

выбраны произвольно

k строк и

k

 

столбцов ( k min(m, n) ).

Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k , определитель которой называется минором k -ого порядка матрицы A .

24

Пример 1

2

1

3

4

 

 

 

5

0

2

7

 

. Найти в ней какой-нибудь минор второго порядка и

Дана матрица: A =

 

 

3

1

1

1

 

 

 

 

 

какой-нибудь минор третьего порядка.

Решение

 

5

0

 

= 5 - минор второго порядка,

 

1

3

4

 

=18 - минор третьего порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

7

 

 

3

1

 

 

 

1

1

1

 

 

Определение 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наивысший порядок отличного от нуля

минора матрицы A называется ее рангом.

Обозначается r( A) .

 

 

 

 

 

 

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Если ранг матрицы равен k , то из этого следует, что среди миноров k -ого порядка хотя бы один отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю.

Преобразования, не меняющие ранг матрицы:

1.перемена местами строк (столбцов);

2.умножение (деление) строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3.прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число;

4.вычеркивание одной из двух пропорциональных (в частности, равных) строк (столбцов);

5.вычеркивание нулевой строки (столбца).

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Обращаем Ваше внимание, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, поэтому ранг матрицы удобно находить методом Гаусса.

Пример 2

1

2

3

4

 

 

2

5

2

6

 

Найти ранг матрицы: A =

.

 

3

4

1

2

 

 

 

25

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

3 4 (2)

(3)

 

 

1 2

3

4

 

 

1 2

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

2 5

2 6

 

 

 

 

 

 

 

 

0 9

8 2

 

 

 

0 9 8 1

 

 

 

 

3 4

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2 8 14

 

 

 

0 2 8 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 11 3

 

: (2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

(6)

 

 

0 1

 

 

 

Так

 

как

 

можно

указать

 

минор 3-го

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 1 (1)

 

 

8 1 .

 

 

 

 

0

6 8 7

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 56 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

11

 

= 56 0 , то r( A) = 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

порядка, отличный от нуля:

 

0

 

 

1

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

56

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Кронекера – Капелли

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n

a x +a x +K+a x = b

 

 

 

11

1

 

12

2

 

 

 

1n n

 

1

 

 

 

 

a21x1 +a22 x2 +K+a2n xn

= b2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LLLLLLLLLLLL

 

 

 

a

x +a x

+K

+a x

 

= b

 

 

 

 

m1

1

 

 

m2

2

 

 

 

mn n

 

m

 

 

 

 

 

 

a11

 

a12

 

K a1n

 

 

 

A

 

=

a

21

 

a

22

 

K a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

m×n

 

 

K

 

K K K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1

 

K amn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

x2

 

K

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

K

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

12

 

 

1n

 

1

 

B

 

 

= a21

 

K K a2n

 

b2 .

m×(n+1)

 

K K K K

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1

 

am2 K amn

 

bm

 

 

 

 

 

 

Выпишем матрицу этой

и ее расширенную

неизвестными:

системы:

матрицу:

1.Для того чтобы СЛАУ была совместна, необходимо и достаточно, чтобы r( A) = r(B) .

2.Это решение единственно тогда и только тогда, когда r( A) = r(B) = n .

3.Если r( A) = r(B) < n , то СЛАУ имеет бесконечно много решений.

Прокомментируем эту теорему примерами из пункта 1.8., выписывая расширенные матрицы систем и матрицы, полученные из расширенной в результате применения метода Гаусса.

Пример 1

2x

+3x

+2x = 9

 

1

2

3

Решить СЛАУ: x1

+2x2 3x3 =14 .

 

 

+4x2

+ x3 =16

3x1

26

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2

x3

 

 

 

 

 

 

x1 x2

x3

 

 

 

 

2

3

2

 

 

 

9

 

 

1

0

0

 

 

2

 

. Так как можно указать минор 3-го порядка,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

1

2

3

 

14

 

 

0

1

0

 

 

3

 

 

 

3

4

1

 

 

 

16

 

 

 

 

0

0

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

=1 0 , то r( A) = r(B) = 3. А так как число неизвестных: n = 3 ,

 

 

 

 

 

 

отличный от нуля:

 

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то r( A) = r(B) = n . Из этого, по теореме Кронекера – Капелли, следует, что система имеет

x1 = 2

x = 3

единственное решение, которое имеет вид: 2 .

x3 = −2

Пример 2

2x

x

+ x

= 0

 

1

2

3

 

 

Решить СЛАУ: x1 +3x2 +2x3 = 2 .

x

+2x

+3x

 

= 2

1

2

3

 

Решение

 

 

x1

x2

x3

 

 

 

 

 

x1 x2 x3

 

2

1 1

 

 

0

 

 

 

1 0 1

 

 

 

 

 

 

1 3

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

B =

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

2

 

 

 

 

0 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

=1 0 ,

то

 

отличный от нуля:

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

2 5 . Так как можно указать минор 2-го порядка,

4

5

r( A) = r(B) = 2 . Число неизвестных: n = 3 , значит

r( A) = r(B) < n. Из этого, по теореме Кронекера – Капелли, следует, что система имеет

бесконечно много решений. Все эти решения можно записать в виде:

x3 = t - любое вещественное число.

Пример 3

x

x

+ x

= 0

1

2

3

 

Решить СЛАУ: x1

+3x2 +2x3 = 2 .

2x +2x +

3x = 5

 

1

2

3

2

 

 

 

 

5

t

 

 

4

 

 

 

X =

t

, где

 

5

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27