Числовые ряды

этих

производных

ряд

∞

сходится на [a;b]

u1′(x)+u2′(x)+…+un′(x)+…= ∑un′(x)

n=1

∞

[a;b]

Тогда

ряд

∑un (x)

сходится

на

равномерно, и

n=1

∞

производная

его

суммы

равна

сумме

ряда

∑un′(x)

S′(x)=σ (x).

n=1

Пример 1

∞

x

n

Показать,

что

ряд

∑

равномерно

сходится

при

n

x [−1;1].

n=1

n

Решение

Так

как при любом

x [−1;1]выполняется неравенство

x

n

1

∞

1

≤

,

а

ряд

∑

сходится

(обобщённый

n

n

3

3

n

2

n=1

n

2

гармонический

ряд

при

p =

3

>1),

то

исходный

ряд,

по

2

Исследовать

непрерывность

суммы сходящегося

ряда

∞

1

∑

.

n

4

2

x

2

n=1

+n

Решение

1

Каждый

член

данного ряда

un (x)=

есть

n4 + x2 n2

∞

1

1

1

ряд ∑

сходится равномерно,

т.к.

≤

, а

4

2

n

2

n

4

2

n

2

4

n=1 n

+ x

+ x

n

∞

1

ряд

∑

сходится. Тогда по теореме 2,

сумма

S (x)

ряда

4

n=1

n

∞

1

∑

есть непрерывная для любого x R функция.

n

4

2

n

2

n=1

+ x

Пример 3

∞

1

Можно ли почленно интегрировать ряд ∑

?

n

2

+ x

2

n=1

Решение

Каждый член данного ряда u

n

(x)=

1

есть функция,

n2 + x2

равномерно на всей действительной оси, т.к.

1

≤

1

, а ряд

n2

+ x2

n2

∞

1

∑

сходится.

Поэтому, согласно

теореме

3,

данный

ряд

2

n=1

n

можно

почленно

интегрировать

по любому

промежутку

[α; y] R .

Полагая, в частности

α = 0 и

интегрируя

по

промежутку

[0; y], получим

y

∞

1

∞ y

1

∞

1

x

y

∫

∑

dx = ∑

dx = ∑

arctg

=

n

2

+ x

2

2

+ x

2

n

n

=

= ∫n

=

0

n 1

n 1 0

1

y

n 1

0

∞

= ∑

arctg

.

n=1

n

n

Пример 4

∞

sin nx

Можно ли почленно дифференцировать ряд ∑

?

3

n=1

n

Решение

Каждый

член

данного ряда

u

n

(x)

= sin nx

есть

функция,

n3

= cos nx .

дифференцируемая для любого

x R ,

причём u

′(x)

n

n2

∞

Составим

ряд

из

производных

∑cos2nx .

Этот

ряд

сходится

n=1

n

равномерно по теореме Вейерштрасса, т.к.

cos nx

≤

1

и члены

n2

n2

∞

nx

исходный

ряд

∑

sin

можно

почленно дифференцировать,

3

n=1

n

∞

sin nx ′

∞

sin nx ′

∞

cos nx

причём ∑

n

3

= ∑

n

3

= ∑

n

2 .

n=1

n=1

x

n=1

величина x0 n , начиная

с

некоторого номера n

удовлетворяет неравенству:

n x0

> 2 , то есть общий член

∞

x n

∑

.

Зафиксируем

произвольное x = x0 ,

где

x0 R .

n=1

n

Очевидно,

что найдётся такое

N ,

что для любого

n > N

x

1

∞ x

n

0

<

,

а тогда ряд

∑

0

можно

сравнить со

n

2

n

n=1

∞

1

сходящимся рядом ∑

и убедиться, что исходный ряд

n

n=1

2

∞

неотрицательное число r ≥ 0 , что ряд ∑an (x −a)n

сходится, и

n=0

притом

абсолютно, при

x −a

< r

x (a −r; a +r ) и

расходится

при

x −a

> r

x (−∞; a −r ) (a +r; +∞).

Число

r

называется радиусом

сходимости, а

открытый

промежуток (a −r; a +r ) интервалом сходимости.

промежутка сходимости, т.е. при

x = a +r и

x = a −r общих

∞

∞

утверждений высказать нельзя.

Ряды ∑anrn

и ∑an (−r )n

n=0

n=0

относительно

x

неравенства: lim

un+1

(x)

<1 или

un (x)

n→∞

lim

u

n+1

= lim

xn+1 n!

= lim

xn

x n!

=

un

(n +1)! xn

n→∞

n→∞

n→∞ n! (n +1) xn

x

∞

x

n

= lim

= 0 ряд ∑

сходится для любого x R .

n!

n→∞ (n +1)

n=0

∞

x

n

2). Найти область сходимости степенного ряда ∑

.

n

10

n

n=1

Ищем промежуток сходимости

lim

un+1

= lim

xn+1 n 10n

=

1

lim

x

=

x

<1,

un

(n

+1) xn 10n+1

(1+ 1n)

n→∞

n→∞

10 n→∞

10

x

<10 x (−10;10)

( r =10 радиус сходимости).

тогда

Исследуем сходимость на границах:

∞

n

∞

n

(−10)n

x = −10 : ∑

= ∑(−1)

- ряд Лейбница –

сходится

n=1

n 10

n=1

n

условно.

∞

10

n

∞

x =10 : ∑

=

∑1 - гармонический ряд - расходится.

n

n=1

n 10

n=1 n

∞

x

n

Итак,

область

сходимости

степенного

ряда

∑

n 10

n

промежуток [−10;10).

n=1

∞

(x −33)

2n−1

3). Найти область сходимости степенного ряда ∑

.

n=1

n

u

=

(x −3)2n−1

;

u

=

(x −3)2n+1

n

n3

n+1

(n +1)3

lim

u

n+1

= lim

(x −3)2n+1 n3

=

un

(n +1)3 (1−3)2n−1

n→∞

n→∞

(x −3)2 n3

= (x −3)2 <1,

= lim

3

n→∞

3

1

n

1+

n

тогда

x −3

<1

промежуток сходимости (2; 4)

( r =1радиус

сходимости).