высокого порядка, чем ρ =

x2 + y2 . Следовательно, функция z = f (x, y)

функция

w = f (x1, x2 ,..., xi ,..., xn )

и

функции

x1 = x1 (v1, v2 ,..., vn ),

x2 = x2 (v1, v2 ,..., vn ),…,

xn = xn (v1, v2 ,..., vn )

в

свою

очередь

являются

∂w

n

∂w

∂x

i

= ∑

, где

j = 1,2,..., m .

∂v j

∂xi

∂v j

i=1

Доказательство

∑

∂w

i

Из

дифференцируемости

функции

w

следует, что

w = n

x

+ θ(ρ),

где

∂x

i=1

i

n

ρ =

∑( xi )2 . Тогда

i=1

w

n

∂w

x

i

θ(ρ)

= ∑

+

.

v j

v j

v j

i=1 ∂xi

В

последнем равенстве

перейдем

к пределу

при

v j → 0,

зафиксировав

все

остальные переменные vk . Получим

v j

w

n

∂w

v j xi

θ(ρ)

lim

=

∑

lim

+ lim

.

∂xi

v j

v j

v j

i=1

v j

→0

v j

→0

существование конечных пределов lim

v j

xi

=

∂x

i

, а также непрерывность функций

v j

∂v j

v j →0

x1, x2,..., xn . Из непрерывности функций

x1, x2,..., xn следует, что v j xi → 0 при

следует также, что θ(ρ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем

v j и,

θ(ρ)

w

∂w

n

∂w

∂x

значит,

lim

= 0 .

Следовательно, lim

=

= ∑

i

, при

всех

v

v

∂v

∂x

v j →0

j

j

j

i=1

∂v

j

v j →0

i

j = 1,2,..., m . Теорема доказана.

z = f (x, y), где

В частном

случае,

для сложной функции

двух

переменных

x = x(u, v)

и y = y(u, v), частные производные по независимым переменным u

и v

∂z

=

∂z

∂x

+

∂z

∂y

,

∂z

=

∂z

∂x

+

∂z

∂y .

∂u

∂v

∂v

∂y

∂u

∂x

∂u

∂y

∂x

∂v

Пример 1

w = 2

xy

x = u

y =

u ,

z = v2 +3v .

Задана

сложная

функция

z

, где

,

Вычислите

∂w

∂w

v

частные производные

∂u

и

∂v .

Решение

Используя формулу производной сложной функции

∂w

=

∂w

∂x

+

∂w

∂y

+

∂w

∂z

∂u

∂u

∂u

∂u

∂x

∂y

∂z

∂w

xy

y

и вычислив частные производные по переменной x :

= 2

z

ln 2

,

по переменной

∂x

z

∂w = 2

xy

x

∂w = −2

xy

ln 2 xy ,

y :

z

ln 2

,

и

по переменной

z :

z

а

также

частные

∂y

z

∂z

z2

производные от переменных x, y, z по независимым переменным u и v :

∂x

= 1 ,

∂u

∂y =

1

∂z

v

,

= 0 , получим выражение для частной производной функции

2

u

∂u

∂u

w по переменной u .

xy

xy

∂w

y

1

+ 2

ln 2 x

1 .

= 2 z ln 2

z

∂u

v

z

z

2 u

Аналогично, выражение для частной производной функции

w

по

независимой

переменной

v

получим,

используя

формулу

производной

сложной

функции

xy

xy

∂w

= −2

ln 2

y

u

− 2

ln 2 xy

(2v +3).

z

z

v2

∂v

z

z2

Следствие 1

Если на множестве D Rn задана дифференцируемая по переменным x , x

2

,..., x

n

1

функция

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn )

и

если

функции

x1 = x1 (t),

x2 = x2 (t),..…, xn = xn (t)

- дифференцируемые функции

независимой переменной t ,

полная производная по независимой переменной t

равна:

dw

n

∂w

dx

= ∑

i .

dt

∂x

i=1

dt

i

Пример 2

функции z = arctg (xy)

Найти полную производную по t

от

, если x = t ln t ,

3 y