29.При каком условии неявная функция, заданная системой, является дифференцируемой в данной точке?
30.Как выглядит формула Тейлора функции n переменных?
31.Функция двух переменных z = f (x, y) имеет в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) минимум. Что это означает по определению?
32.Функция двух переменных z = f (x, y) имеет в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) максимум. Что это означает по определению?
33.В чем состоит необходимое условие экстремума функции двух переменных?
34.Как формулируются достаточные условия экстремума функции двух переменных?
5.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1.Метрическое пространство Rn . Окрестности точек в Rn . Классификация точек в
Rn . Открытые и замкнутые множества.
2.Функции n переменных. Предел и непрерывность функции n переменных.
3.Частные производные функции n переменных. Частные производные функции двух переменных и их геометрический смысл.
4.Дифференцируемая функция n переменных. Необходимое условие
дифференцируемости (случай функции двух переменных).
5.Дифференцируемая функция n переменных. Достаточное условие дифференцируемости (случай функции двух переменных).
6.Производная сложной функции n переменных. Полная производная функции n
переменных.
7.Дифференциал функции n переменных: определение, формула дифференциала, инвариантность формулы первого дифференциала, правила дифференцирования.
8.Дифференциал функции двух переменных, его геометрический смысл. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
9.Частные производные и дифференциалы высших порядков функции n
переменных.
10.Производные функций n переменных, заданных неявно. Дифференцирование неявных функций, заданных системой. Определитель Якоби.
11.Экстремум функции n переменных: определение и необходимое условие.
Стационарные и критические точки.
12. Формула Тейлора и Маклорена функции n переменных. Достаточные условия экстремума.
6.ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
6.Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (10 часов)
7.Нахождение областей определения функций двух и более переменных. Вычисление
пределов и исследование на непрерывность функций двух переменных. Вычисление частных производных. Геометрический смысл частных производных Типовой расчет по теме: «Функции нескольких переменных» (2 часа).
Л.4: 3004, 3010, 3042, 3058,3067,3075,3091.
8.Производная сложной функции. Полная производная (2 часа).
Л.4: 3032, 3033, 3126, 3127, 3128, 3131.
9.Дифференциал функции нескольких переменных. Оценка погрешностей приближенные вычисления. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (2часа).
Л.4: 3106, 3111, 3113, 3324, 3326, 3327.
10.Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование неявных функций (2 часа).
Л.4:3176, 3181, 3188, 3222, 3225, 3228, 3329.
11.Экстремум функции двух переменных. Задачи на наименьшее и наибольшее значение (2 часа).
Л.4: 3259, 3267, 3270, 3281, 3282.
12.Прием типового расчета «Функции нескольких переменных». Контрольная работа» (2 часа).
39
•Вычислить производную параметрически заданной функции одной переменной.
•Вычислить предел по правилу Лопиталя..
•Вычислить первый дифференциал функции двух или трех переменных.
•Вычислить второй дифференциал функции двух переменных.
•Вычислить производную неявно заданной функции двух переменных.
13.Коллоквиум. Тест по теме: «Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных» (2 часа).
7.Тест по теме 6: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
1. |
Что задает предел |
lim |
f (x + x, y) |
? Укажите номер верного ответа в таблице 2. |
||||||||
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
Таблица 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂f (x + x, y) |
|
∂f (x, y) |
|
∂f (x, y) |
|
∂f |
(x0 , y0 ) |
||||
|
∂x |
|
∂x |
|
∂y |
|
∂x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
z = |
f (x, y) |
|
||
Чему равен угловой коэффициент касательной к кривой |
|
в точке с |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x0 |
|
||
|
ординатой y = y0 ? Укажите номер верного ответа в таблице 3. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
∂f |
4 |
|
|
∂f (x, y) |
|
|
∂f |
(x0 , y0 ) |
|
∂f (x, y) |
|
(x0 , y0 ) |
|||
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
∂y |
|
||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
z = f (x, y) |
|
|||
Чему равен угловой коэффициент касательной к кривой |
|
в точке с |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x0 |
|
||
|
ординатой y = y0 ? Укажите номер верного ответа в таблице 4. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
0o |
|
|
|
90o |
|
45o |
|
|
30o |
||
4. |
При каком условии функция двух переменных является дифференцируемой в точке |
|||||||||||
|
(x0 , y0 )? Укажите номер верного ответа в таблице 5. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
Функция имеет в этой точке конечные |
|
Функция имеет в некоторой окрестности |
|||||||||
|
частные производные. |
|
этой точки непрерывные частные |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
производные. |
|
|||
5.Если задана функция двух переменных f (x, y)= xsin y , то чему равна частная
∂f
производная ∂y ? Укажите номер верного ответа в таблице 6.
|
|
|
Таблица 6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
sin y xsin y−1 |
sin y xsin y−1 cos y |
xsin y ln x |
xsin y ln x cos y |
40
6. |
Если задана функция двух переменных f (x, y)= |
|
x2 − y2 , то чему равно |
|||||||||||
|
|
∂f |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
? Укажите номер верного ответа в таблице 7. |
|
|||||||||
|
выражение |
|
|
− |
|
|
||||||||
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
− y 2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
Если функция |
двух переменных имеет вид f (x, y)= (2x + y)3 y−x , то чему равно |
||||||||||||
|
значение частной производной |
∂f (0;1)? Укажите номер верного в таблице 8 ответа. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Таблица 8 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 ln 2 |
−1 |
|
6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Чему равно значение полного дифференциала функции z = x2 + 2 y3 в точке (2; 1)
|
при x = 0,01 и |
y = 0,03 ? Укажите номер верного ответа в таблице 9. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 9 |
|||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
0,13 |
0,18 |
|
0,22 |
|
0,74 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Задана функция двух переменных z = |
x |
. Чему равно выражение x |
∂z |
+ y |
∂z |
? |
|||
y |
∂x |
∂y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Укажите номер верного ответа в таблице 10. |
|
Таблица 10 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
y |
|
x |
|
|
||
|
|
x |
|
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
10.Функция z = z(x, y) задана неявно зависимостью (x − z)2 + (y − z)2 = 8 . Чему
равно выражение |
∂z |
+ |
∂z |
? Укажите номер верного в таблице 11 ответа. |
||||||||||||||
∂x |
∂y |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
8 |
|
|
−1 |
||||
11. Задана функция |
z = arctg |
x |
, где |
x = u + v , y = u −v . Чему равно выражение |
||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂z |
+ ∂z |
? Укажите номер верного в таблице 12 ответа. |
|
|
|
||||||||||||
|
∂u |
|
|
|
||||||||||||||
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
u − v |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2 + v2 |
|
u 2 + v2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12.Задана функция трех переменных u = ln(1 + x + y3 + z 2 ). Чему равно значение
∂u |
+ |
∂u |
+ |
∂u |
при x = y = z =1 ? Укажите номер верного в таблице 13 ответа. |
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 13 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|||
|
1,5 |
|
|
|
7 |
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||||
13. |
Если задана функция u = ex (x cos y − y sin y), то чему равно выражение |
||||||||||||||||
|
∂2u |
+ |
∂2u |
? Укажите номер верного ответа в таблице 14. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂x2 |
∂y2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 14 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|||
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
ex |
|
|
|
− 2ex x cos y |
|||||
14. |
Задана функция z = exy . Чему равно значение производной |
|
|
∂3 z |
|
(0; 1)? Укажите |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2∂y |
|||
|
номер верного в таблице 15 ответа. |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|||||
|
|
2 |
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|||||
15.Задана функция z = sin(2x + y). Чему равно значение третьего дифференциала
d 3 z в точке (− |
π |
; |
π |
)при x = |
y = 0,1 ? Укажите номер верного в таблице 16 |
|||
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|||
ответа. |
|
|
|
|
|
Таблица 16 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
4 |
||
1 |
|
|
0,027 |
|
−0,027 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.Какой вид имеет уравнение касательной плоскости к поверхности z = x2 − 2 y2 в
точке (1; 1; −1)? Укажите номер верного в таблице 17 ответа.
|
|
Таблица 17 |
1 |
2 |
3 |
2x − 4 y + z +3 = 0 |
2x − 4 y + z −1 = 0 |
2x − 4 y − z +1 = 0 |
17.Чему равно приращение ординаты касательной плоскости, проведенной к
поверхности, x2 + y2 + 2z 2 = 7 в точке (1, − 2; −1) при x = |
y = 0,01? Укажите |
||||
номер верного в таблице 18 ответа. |
|
|
Таблица 18 |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
0,005 |
−0,005 |
|
|
−0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
2 |
= 0 . При каком |
|
18. Неявные функции u(x, y) и v(x, y) заданы системой ux − vy |
|
||||
|
uy − vx − x2 = 0 |
||||
условии эти функции являются дифференцируемыми? Укажите номер верного в |
|||||
таблице 19 ответа. |
|
|
|
|
Таблица 19 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
При y ≠ x |
При y ≠ −x |
При y ≠ ±x |
|||
19.Какие точки являются стационарными для неявной функции z = z(x, y), заданной
зависимостью x2 + y2 + z 2 − xyz = 4 ? Укажите номер верного в таблице 20 ответа.
42
|
|
Таблица 20 |
1 |
2 |
3 |
(±1, ±1, 2) |
(±1, m1, − 2) |
(±1, ±1, − 2) |
20.Имеет ли функция z = 4 (x − y)− x2 − y2 экстремум? Укажите номер верного в
таблице 21 ответа.
|
|
Таблица 21 |
1 |
2 |
3 |
Минимум в точке (2; − 2) |
Не имеет экстремумов |
Максимум в точке (2; − 2) |
8.РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная
1.Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т 1, М.: Наука, 1985.
2.В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа. Ч.1. М.: Наука, 1982.
3.Б.Письменный. Лекции по высшей математике. М.: Айрис, 2001.
4.Г.Н.Берман. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука, 1985.
Дополнительная
5.В.Немыцкий, М.Слудская, А.Черкасов. Курс математического анализа. 2 том,
М.:Наука,1987.
6.Г.П.Толстов. Курс математического анализа. 2 том, М.: Наука, 1980.
7.Н.А.Арцыкова, М.И.Володичева. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. ЛКИ, 1985.
9.ОТВЕТЫ К ТЕСТУ
Таблица 22
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
2 |
4 |
3 |
2 |
4 |
2 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
3 |
1 |
2 |
1 |
4 |
3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43