dy

2

dy

Вынесем

(dy)2 за

скобку

d 2 z(x

0

, y

0

)= A

+ 2B

+C (dy)2

и

dx

dx

обозначим

dy

= t . Тогда

dx

d 2 z(x0 , y0 )= (A t 2 + 2B t +C)(dy)2 .

Чтобы

выражение

d 2 z(x0 , y0 )

было

определенного

знака,

дискриминант

D

квадратного

трехчлена

A t 2 + 2B t +C

должен

быть

меньше нуля.

D = 4B2 − 4 AC = 4 (B2 − AC).

Следовательно,

при

B2 − AC < 0 ,

или

при

AC − B2 > 0 есть экстремум. При AC − B2 < 0 нет экстремума.

Если AC − B2 > 0 ,

то

при

A > 0 квадратный

трехчлен A t 2 + 2B t +C > 0 и

Пример 2

Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 −9xy +27 .

Решение

∂z

= 3x

2

−9 y

∂x

2

−9 y

= 0

2

= 3y

x

2

= 3y

,

3x

,

x

,

,

∂z

2

2

2

4

= 3y −9x

3y

−9x

= 0

9 y

− 27x = 0

x

− 27x = 0

∂y

2

= 3y

x

. Системе удовлетворяют две стационарные точки (0,0) и (3,3).

3

− 27)= 0

x (x

Вычислим частные производные второго порядка

∂

2 z

=

6x ,

∂2 z

= 6 y ,

∂

2 z

= −9 .

∂x2

∂y

2

∂x∂y

(0,0):

Для

первой

стационарной

точки

A = C = 0,

B = −9

.

Дискриминант

D = AC − B2 = −81 < 0 .

Значит, в

этой точке

нет

экстремума.

Для

точки (3,3):

A = C =18 ,

B = −9 . Дискриминант

D = 324 −81 > 0 , а так как

A > 0 ,

то это точка

минимума.