исключением

тех, в

которых

∂F

= 0 .

∂F

= −

x

+ cos(xy),

следовательно,

функция

∂z

z2

∂z

x

дифференцируема везде,

где выполняется условие −

+ cos(xy)≠ 0 . Учитывая, что

z2

∂F

∂F

= 1

−sin(xy) zy

и

= −sin(xy) zx , можно записать

∂x

∂y

z

∂z = −

1

−sin(xy)zy

;

∂z

= −

−sin(xy)zx

z

.

∂x

−

x

+cos(xy)

∂y

−

x

+cos(xy)

z2

z2

5.2.

Производные неявных функций, заданных системой уравнений.

Определитель Якоби

Пример 1

2

= −у

∂u

∂u

u(x, y)

ху+и

Функции

и

w(x, y) заданы системой

2

. Вычислить

∂x

, ∂y ,

= 0

uw + y

∂w

и ∂w .

∂x

∂y

− y

0

2u

− y

∂u

=

0

u

= − yu

= −

y

;

∂w

=

w 0

=

yw

.

∂x

2u 0

2u

∂x

2u 0

2u 2

2u 2

w

u

w

u

Из полученных формул для частных производных ∂u ,

∂u ,

∂w

и ∂w

видно, что

неявные функции u(x, y)

∂x

∂y

∂x

∂y

и w(x, y) не являются дифференцируемыми

в точках,

в

2u

0

= 0 , или

u = 0 . Такой

определитель

называется

которых определитель

w

u

определителем Якоби.

Определение

(x, y, u, w)= 0

Если неявные функции

u(x, y) и w(x, y)

заданы системой

F1

то

F

(x, y,u, w)= 0 ,

2

определитель I =

∂F1 ∂F1

∂∂Fu

∂∂Fw

называется определителем Якоби.

2

2

∂u

∂w

числа переменных.

Теорема

(x, y, u, w)= 0

F

F1 (x, y, u, w) и

F2 (x, y, u, w)

Если задана система 1

(x, y,u, w)= 0

, где

F2

непрерывные

и дифференцируемые по всем переменным

в

окрестности

точки

M 0 (x0 , y0 ,u0 , w0 ),

являющейся решением

системы,

функции

и

если

в

точке

M 0

I =

∂F1 ∂F1

≠ 0 , то

u(x, y) и

определитель

Якоби

∂∂Fu

∂∂Fw

система

определяет

функции

2

2

w(x, y), которые являются

∂u

∂w

дифференцируемыми в точке M 0 .

Пример 2

2

− w

2

+ x

2

+ y

2

= 0

Определите, при каком условии система уравнений

u

задает

uw + xy = 0

дифференцируемые функции u(x, y) и w(x, y), и вычислите du ,

dw и d 2u .