5.Производные функций нескольких переменных, заданных неявно

5.1.Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула

для частных производных функции двух переменных, заданной неявно.

Определение

Функция w = f (x1, x2 ,..., xn ) называется заданной неявно в окрестности точки (x10 , x20 ,..., xn0 , w0 ), если задано уравнение F(x1, x2 ,..., xn , w)= 0 и если:

которых уравнение F(x0 , y0 , z)= 0 имеет хотя бы один корень функцию z = f (x, y), значения которой равны корням этого уравнения.

При этом уравнение F(x, y, z)= 0 иногда может быть разрешено относительно z , а

иногда нет. Не следует путать вопрос о существовании неявной функции с вопросом получения ее в виде явной зависимости. Следующая теорема дает условия существования, единственности и дифференцируемости неявной функции.

Теорема 1

Если функция F(x1, x2 ,..., xn , w):

•непрерывна в окрестности точки (x10 , x20 ,..., xn0 , w0 );

•имеет в этой окрестности непрерывные частные производные по всем переменным;

•F (x10 , x20 ,..., xn0 , w0 )= 0 ;

•Fw′ (x10 , x20 ,..., xn0 , w0 )≠ 0 ;

то уравнение F(x1, x2 ,..., xn , w)= 0 задает в окрестности точки (x10 , x20 ,..., xn0 , w0 ) однозначную дифференцируемую функцию w = f (x1, x2 ,..., xn ), для которой справедливо

w0 = F(x10 , x20 ,..., xn0 ).

Доказательство

В силу сложности и громоздкости доказательства этой теоремы, рассмотрим ее доказательство только для функции двух переменных y = f (x), заданной неявной зависимостью F(x, y)= 0 , где функция F(x, y) непрерывна и дифференцируема в

29

Пример 1

Выясните, в каких точках дифференцируема функция y = f (x), заданная неявно, и

вычислите ее производную, если xy + exy = 0 .

∂∂Fx = 1y + exy y , то

1 +exy y

y′x = − −yx +exy x . y2

Пример 2

Выясните, в каких точках дифференцируема функция z = f (x, y), заданная неявно, и

вычислите ее производную, если xz + z cos(xy)= 0 .

30