Потенциальная энергия деформации при кручении
Потенциальная
энергия упругой деформации при кручении
рассчитывается по формуле -
,
гдеdl –
длина элементарного участка вала. Если
момент Мкр
и жесткость по длине участка вала не
меняется, то:
.
В случае вала состоящего из нескольких
участков потенциальная энергия находится
как сумма потенциальных энергий
отдельных участков -
.
Задача №1
Условие задачи: Для заданного вала (см. рис.1) вращающегося с постоянной скоростью к которому через шкивы подводятся и снимаются мощности Ni: построить эпюру крутящего момента; подобрать сечение вала из условия прочности; подобрать сечение вала из условия жесткости построить эпюру углов закручивания.
Исходные данные: l1=100 мм; l2=200 мм; l3=300 мм; N1=6кВт; N2=4кВт; N3=2кВт;
= 450 об/мин; d/D=0.9; n=1.5; []=1 град/м. Материал вала - Сталь 30 G=80000 МПа; т = 300МПа.
рис.1
Решение:
1). Определим допускаемые касательные напряжения для материала вала используя известную для пластичных материалов зависимость: []=0.5[]. Допускаемые нормальные напряжения [] = т/n = 300/1.5 = 200 МПа. Тогда: []=0.5200 = 100 МПа.
2).
Найдем значения внешних вращающих
моментов приложенных к валу (см. рис.2)
по формуле -
Нм:
рис.2
Нм
Нм
Нм
Из условия равновесия вала можно определить крутящий момент М:M1M+M2+M3=0 М = M1+M2+M3 или М=127.3+84.9+42.4=254.6 Нм
3). Вал состоит из трех участков. Определим крутящие моменты на его участках методом сечений.
Рассчитаем крутящий момент вала в сечении I-I (см. рис.2). Для этого отбросим правую часть вала. Вместо отброшенной части приложим крутящий момент Мкр1 действующий в сечении I-I (см. рис.3), cоставим уравнение равновесия рассматриваемой части вала: Мкр1+М1= 0 Мкр1= М1= 127.3 Нм.
рис.3
Рассчитаем крутящий момент вала в сечении IIII. Для этого отбросим правую часть вала. Вместо отброшенной части приложим крутящий моментМкр2действующий в сечении IIII (см. рис.4),cоставим уравнение равновесия рассматриваемой части вала:Мкр2+М1М = 0 Мкр2= М1+М = 127.3+254.6 = 127.3 Нм
рис.4
Рассчитаем крутящий момент вала в сечении IIIIII. Для этого отбросим левую часть вала. Вместо отброшенной части приложим крутящий момент Мкр3 (знак при этом меняется) действующий в сечении IIIIII (см. рис.5), cоставим уравнение равновесия рассматриваемой части вала: Мкр3+М3=0 Мкр3= М3= 42.4 Нм
рис.5
4).
Найдем размеры поперечного сечения
вала D
и d
из условия прочности: max
[],
учитывая, что сечение вала по длине
постоянно это условие можно переписать
в виде:
,
где
-
максимальный по модулю крутящий момент.
Выразим полярный момент сопротивления сечения:
,
где
по условию задачи.
Из условия прочности вала выразим наружный диаметр D поперечного сечения вала:
мм,
тогда внутренний диаметр кольца
мм.
5). Найдем размеры поперечного сечения вала D и d теперь из условия жесткости:
.
Выразим полярный момент инерции сеченияI:
и
допускаемый угол закручивания:
1 град/м = 0.0175 рад/м = 0.017510-3
рад/мм.
Из условия жесткости вала выразим наружный диаметр D кольцевого сечения:
мм,
тогда внутренний диаметр кольца -
мм.
Так как условие прочности и жесткости должны выполняться одновременно, поэтому принимаем диаметр вала D = 40.4 мм.
При
выбранных размерах поперечного сечения
вала:
мм3;
мм4.