1.6. Задача «время-стоимость»

В решении задач маркетинга, менеджмента необходимо учитывать, контролировать и прогнозировать множество факторов – продолжительность работы; стоимость изготовления; количество исполнителей и т.д. Все факторы зависят друг от друга. Иногда эту зависимость определить трудно, но она все равно есть.

Зависимость между длительностью работы и ее стоимостью с некоторой долей условности можно представить в виде аппроксимирующей прямой, имеющей линейную зависимость (рис.1.16)

C(ij)

C_max

C_изм

∆С

С_min

t_mint_измt_maxt(ij)

Рис.1.16. График «время-стоимость» работы (ij)

Чем более мы стремимся сократить время работы, тем дороже она нам обходится. Для каждого вида работ можно определить коэффициент возрастания затрат на единицу времени:

S(ij) =

C_max(ij) – C_min(ij)

t_max(ij) – t_min(ij)

В курсе рассматривается алгоритм оптимизации сетевой модели по критерию «стоимость».

Дано: Сетевая модель. По каждой работе (ij) дается возможный диапазон длительности работыt_min(ij),t_max(ij), минимальная стоимость работыC_min(ij), коэффициентS(ij). Необходимо найти зависимость Ткр между и суммарными затратами, ставя задачу обеспечить минимум возрастания затрат при уменьшении Ткр.

Алгоритм заключается в следующем:

1. Найти критический путь, его длину Ткр.

С = ∑С(ij)

Lкр = (i₀,i₁,…,i_n) из предположенияt(ij) =t_max(ij)

2. На этом пути найти работу (kℓ) ЄLкр, у которойS(kℓ) будет иметь наименьшее значение.

3. Для выбранной работы найти величину ∆t(kℓ) =t_max(kℓ) -t_min(kℓ)

4. Определить ∆С(kℓ) =S(kℓ)*∆t(kℓ)

5. Следовательно, при уменьшении Ткр на величину ∆t(kℓ) стоимость всех работ увеличивается на величину ∆С(kℓ)

С^*= С_пред.+ ∆С(kℓ)

6. Рассчитать сетевую модель с учетом измененной продолжительности работы (kℓ).

7. Возвратиться к п.1. В результате реализации данного алгоритма получается график зависимости С от Ткр. По этому графику легко координировать отношения между инвестором и производителем.

ПРИМЕР

Дано: Сетевая модель (рис.1.17)

Рис.1.17

Информация о сетевой модели задана в табл.1.5.

Таблица 1.5.

ij	tmin дни	tmax дни	Cmin руб	S(ij) руб/день
1-3	3	5	10	1
3-4	2	7	15	3
1-2	4	10	5	2
2-4	6	12	20	8
1-6	7	9	10	3
6-7	3	6	5	4
4-5	5	8	15	5
7-5	4	9	10	7
			∑90

Необходимо: сократить Ткр так, чтобы дополнительные затраты были минимальными.

Рассчитаем сетевую модель из предположения t(ij) =t_max, получим Ткр^max= 30; из предположенияt(ij) =t_min– получим Ткр^min= 15.

Таким образом:

Ткр^min ≤ Ткр ≤ Ткр^max

15 ≤ Ткр ≤ 30

Будем сокращать Ткр.=30 так, чтобы дополнительные затраты росли оптимально, т.е. были минимальными. Решение сведем в таблицу 1.6.

Таблица 1.6.

Пути	ij / S(ij)								Ткр (шаги)
	1-3	3-4	1-2	2-4	1-6	6-7	4-5	7-5	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1)1-3-4-5	1	3					5		20	20	17	17	17	17	17	15	10
2)1-2-4-5			2	8			5		30	24	21	21	21	15	15	15	15
3)1-6-7-5					3	4		7	24	24	24	22	19	19	14	14	14
Tmax – tmin	2	5	6	6	2	3	3	5	∑ стоимость
шаги			1	5	3	4	2		90	102	117	123	135	183	218	220	235

График зависимости стоимости от времени будет иметь вид (рис.1.18)

∑С

∑С_опт^max235

220

135

123

102

∑C^min90

15 21 22 24 30 Ткр

Рис.1.18. График зависимости стоимости от времени выполнения проекта

Последовательность расчета:

На первом шаге рассматриваем 2-ой путь, так как он является критическим Ткр=30. На этом пути выбираем работу (1-2), так как у нее S(1-2) наименьшая среди других работ:S(1-2) = 2.

∆t(1-2) = t_max(1-2) – t_min(1-2) = 6

∆C(1-2) = S(1-2)* ∆t(1-2) = 2*6 =12

∑С^изм= ∑С^{первоначальн.}+ ∆C= 90+12 = 102

Ткр_{(измененное)}= Ткр_{(старое)}- ∆t(1-2) = 30-6 = 24

На втором шаге появились два одинаковых по длине критических пути. Выбираем любой из них, например, путь номер два. На этом пути выбираем работу (4-5), так как = работа (1-2) уже исчерпана с точки зрения уменьшения, а из оставшихся работ S(4-5) имеет меньшее значение, т.е.S(4-5) = 5.

∆t(4-5) = 3.

Работа (4-5) принадлежит и первому и второму пути, следовательно, длина и первого и второго пути должна быть уменьшена на 3 ед. Длина второго пути станет равна (24-3) = 21. Длина первого пути станет равна (20-3) = 17. Длина третьего пути осталась без изменения

∆C(4-5) = 5*3 = 15

∑С^изм= ∑С^{предыд.}+ ∆C(4-5) = 102+15 = 117. И т.д.