4. Операционным методом решить задачу Коши:

(29)

(30)

Решение. Учитывая, что, ,

,

получим операторное уравнение в виде

.

Отсюда изображение

(31)

Многочлен имеет корни , , поэтому и выражение для после упрощения суммы первой и последней дробей преобразуется к виду

(32)

Для того чтобы получить оригинал для изображения , нужно дроби, входящие в (32), разложить на простейшие. Найдем это разложение с помощью Mathcad

По данному изображению с помощью таблицы с учетом теоремы запаздывания получим решение исходного дифференциального уравнения

(33)

Очевидно, что найденное решение удовлетворяет начальным условиям

, .

Решим теперь эту задачу с помощью Mathcad.

Запишем правую часть уравнения с помощью функции Хевисайда

и найдем ее изображение.

Это выражение можно упростить. Вначале представим это выражение в виде суммы дробей

и упростим суммы первого и третьего слагаемых, а также второго и четвертого слагаемых

В результате изображение правой части дифференциального уравнения примет вид

Запишем операторное уравнение для изображения искомой функции и найдем его решение с помощью вычислительного блока Given-Find, который используется для символьного решения уравнений и систем уравнений

Ответ получился в виде многоэтажной дроби. Для упрощения этой дроби используем команду factor.

Данную дробь можно представить в виде суммы пяти дробей. Упростим суммы отдельных слагаемых

В результате получим изображение искомой функции в виде

Найдем по данному изображению оригинал

Упростим множитель при функции Хевисайда

Отсюда получим решение задачи в виде

Это выражение совпадает с (33)

Легко проверить, что полученная функция удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и заданным начальным условиям.

Отметим, что с помощью Mathcad получить оригинал по непреобразованному изображению не удается

5. Решить систему дифференциальных уравнений:

,

с начальными условиями

Решение.

Запишем систему операторных уравнений для заданной системы

Методом исключения или методом Крамера найдем решение этой

Разложим полученные дроби на простейшие дроби

По найденным изображениям с помощью таблицы найдем оригиналы

(34)

Полученное решение системы удовлетворяет заданным начальным условиям

Найдем теперь решение системы с помощью Mathcad

Запишем систему операторных уравнений для изображений искомой функций и найдем решение этой системы с помощью вычислительного блока Given-Find

По найденным изображениям восстановим оригиналы

Полученное решение совпадает с ранее найденным решением (34).

22