Критерий согласия Пирсона

Критерий Пирсона применяется, если объем выборки , а интервалы содержат более 5 вариант.

Рассмотрим случайную величину

,

где – эмпирическая частота,– теоретическая частота, которая равна, где– вероятность попадания случайной величины в–й интервал сгруппированного статистического ряда. Тогда

.

Если рассматривать различные выборки, то случайная величина принимает различные значения. Чем меньше различаютсяи, тем меньше,следовательно, величина в известной степени характеризует близость теоретического и эмпирического распределения.

Заметим, что возведением в квадрат разностей частот устраняют возможность взаимного погашения положительных и отрицательных разностей, а делением на достигают уменьшения каждого из слагаемых.

Доказано, что при распределение С.В.стремится к закону распределениясстепенями свободы, где. Здесь– число интервалов,– число параметров распределения (для нормального распределения, для распределения Пуассона). Плотность распределенияравна

. где

По такому закону распределена сумма квадратов случайных величин, каждая из которых распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией равной единице.

Множество всех значений критерия разбивают на 2 непересекающихся множества и, при этом–критическая область –содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а – область принятия гипотезы –содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза принимается. Эти области разделяются критической точкой .Гипотеза принимается, если , и гипотеза отвергается, если.

Вероятность ошибки первого рода, т.е. , называютуровнем значимости критерия . Если — вероятность ошибки второго рода, то величину=называют мощностью критерия .

Если проверяемая гипотеза верна, то. Если известен закон распределения критерия, то точка находится из условия, где– заданный уровень значимости, т.е. для нахождения критической точкизадаются уровнем значимостии требуют, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерийпримет значение большеебыла равна..

Существуют подробные таблицы вероятности при заданном . При практическом использовании критерияпо заданному уровню значимостии числу степеней свободыиз таблицы находяти сравнивают это значение с. Если, то нулевую гипотезу принимают, если же, то нулевую гипотезу отвергают.

Наблюдаемое значение критерия может оказаться большим не потому, что нулевая гипотеза ложна, а по другим причинам, например, вследствие малого объема выборки. В этом случае, отвергнув правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода.

Иногда область принятия гипотезы о законе распределения ограничивают с двух сторон, гденаходят из условия . Тогда гипотеза о виде распределения случайной величиныпринимается при.

Критерий Пирсона применяется для проверки правдоподобия гипотез любых законов распределения. С помощью критерия Пирсона нельзя доказать, что рассматриваемая гипотеза действительно справедлива, критерий указывает лишь на то, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Схема применения критерия для проверки гипотезы:

1. Для заданной выборки строят вариационный ряд– группированный статистический ряд.

2. Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот по формуле .

3. Для уровня значимости по таблицераспределения находят критическое значение, где – число степеней свободы (– число интервалов,– число параметров распределения случайной величины).

4. По той же таблице находят .

5. Если или, то нулевая гипотеза отвергается. Если же, то считают, что гипотеза не противоречит экспериментальным данным.

Критерий Пирсона дает удовлетворительные результаты, если объем выборки велик (и частоты (эмпирические и теоретические) имеют значения не меньше, чем 5. Если для некоторых из интервалов, то следует объединить соседние интервалы. Отметим, что в двух крайних интервалах допускается значение.