Координатный способ

В этом способе с выбранным телом отсчета жестко связывают определенную систему координат (декартовую, полярную, криволинейную и т.д.).

Рис. 3

Ограничимся декартовой системой координат , , (рис. 1). Изобразим радиус – вектор в этой системе координат (рис. 3).

Запишем вектор , используя орты , , :

(1.6)

где - проекции вектора на координатные оси (также функции времени).

Вектор скорости равен

. (1.7)

Здесь , , - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

Таким образом,

(1.8)

Модуль вектора скорости равен

(1.9)

Направление вектора задается направляющими косинусами по формулам

, , , (1.10)

где - углы между вектором и осями соответственно.

Дифференцируя формулу (1.7) по времени, получим выражение для ускорения

(1.11)

где , , - компоненты ускорения, т.е. проекции вектора на координатные оси.

Модуль вектора ускорения и его направление определяется аналогичными формулами (1.9) и (1.10).

Таким образом, зная зависимость координат от времени , , - закон движения точки, можно найти , , , а также решить ряд других вопросов: найти траекторию точки, зависимость пройденного пути от времени, зависимость скорости от положения точки и т.д.

Например, зная модуль скорости , можно вычислить путь, пройденный частицей от момента времени до момента времени . Согласно (1.3) . Проинтегрировав это выражение по времени от до , найдем путь за это время:

. (1.12)

«Естественный» способ

Этот способ применяют тогда, когда траектория точки известна заранее. Положение точки задается дуговой координатой - расстоянием вдоль траектории от выбранного начала отсчета (рис. 4).

Скорость точки Введем единичный вектор , связанный с движущейся точкой и направленный по касательной к траектории.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории, поэтому

(1.13)

где - модуль вектора скорости.

Рис. 4

Ускорение точки Изменение вектора скорости может происходить как по величине, та и по направлению, поэтому, продифференцировав (1.13) по времени, будем иметь в выражении для ускорения два слагаемых:

(1.14)

Затем преобразуем второе слагаемое:

. (1.15)

Определим приращение вектора на участке (рис. 5), учитывая, что = 1.

Как видно из рис. 5, угол

, откуда , причем при и . Здесь - радиус кривизны траектории в данной точке 1, - центр кривизны.

Рис. 5

Введя единичный вектор нормали траектории в точке 1, направленный к центру кривизны, запишем последнее равенство в векторном виде:

. (1.16)

Подставим (1.16) в (1.15) и полученное выражение в (1.14).

В результате найдем

, или (1.17)

, где

- называют тангенциальным (т.е. касательным) ускорением, оно характеризует быстроту изменения модуля скорости,

- называют нормальным ускорением, оно характеризует быстроту изменения направления скорости.

Таким образом, полное ускорение точки может быть представлено как векторная сумма тангенциального и нормального ускорения.

Модуль полного ускорения точки

. (1.18)