4 Основное уравнение динамики

Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой математическое выражение второго закона Ньютона:

(2.11)

Уравнение (2.11) есть, по существу, дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение – основная задача динамики материальной точки. При этом возможны две противоположные постановки задачи.

1.Найти действующую на точку силу , если известны массаточки и зависимость от времени ее радиуса – вектора.

2. Найти закон движения точки, то есть зависимость от времени ее радиуса – вектора , если известны массаточки, действующие на нее силы(или сила) и начальные условияи.

В зависимости от характера и постановки конкретной задачи решение уравнения (2.11) проводят или в векторной форме, или в координатах, или в проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке.

В проекциях на оси декартовых координат

Записывая обе части уравнения (2.11) в проекциях на оси получим три дифференциальных уравнения вида:

,,, (2.12)

где - проекции векторана оси.

Итак, на конкретном примере рассмотрим стандартный подход к решению задач с помощью уравнений (2.12).

ПримерНебольшой брусок массыскользит вниз по наклонной плоскости, составляющей уголс горизонтом. Коэффициент трения равен. Найдем ускорение бруска.

Дано:

Найти:?

Решение:

1. Следует изобразить силы, действующие на брусок. Это сила тяжести , сила реакции опоры, сила трения скольжения.

2. Выбрать систему координат , причем удобно осьсовместить с направлением вектора ускорения.

3. Записать уравнение движения в векторной форме:

4. Записать векторное уравнение в проекциях на оси координат и:

:

:

5. Решая систему трех скалярных уравнений, получим

Ответ: .

В проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке

Рис. 1

Записывая обе части (2.11) в проекциях на подвижные орты и(рис. 1) и используя полученные ранее выражения (см. формулу (1.18)) для тангенциального и нормального ускорений, получим:

,

(2.13)

или

, (2.14)

где и- проекции векторана ортыи. Векторыиназывают тангенциальной и нормальной составляющими силы.

Напомним, что направление орта выбирают в сторону возрастания дуговой координаты, а направление орта- к центру кривизны траектории в данной точке.

5 Импульс системы

Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой.

Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, подразделяются на внутренниеивнешние. Внутренними называют силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, внешними – силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе.

Система, в которой внешние силы отсутствуют, либо векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему равна нулю, называется замкнутой.

Рассмотрим систему, состоящую из частиц (материальных точек).

Обозначим через силу, с которой-я частица действует на-ю (см. рис.).

.

Первый индекс указывает номер частицы, на которую действует сила, второй индекс – номер частицы, воздействием которой обусловлена эта сила.

Символом обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на-ю частицу. Напишем уравнение движения всехчастиц:

,

,

, ()

………………………………………..

()

(- импульс- й частицы)

Сложим вместе эти уравнения. Слева получится производная по времени от суммарного импульса системы

Справа

.

Согласно третьему закону Ньютона каждая из скобок равна нулю, т.е.

, ()

Обозначим - результирующая всех внешних сил.

В результате получим, что

(2.15)

Таким образом, производная по времени от импульса системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на тела системы.

Из уравнения (2.15) следует, что приращение импульса системы за конечный промежуток времени есть

, (2.16)

т.е. приращение импульса системы равно импульсу результирующей всех внешних сил за соответствующий промежуток времени.