3 Плоское движение твердого тела

Плоским называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Особенно удобным оказывается разбиение произвольного плоского движения на поступательное, происходящее со скоростью центра масс , и вращение вокруг оси, проходящей через этот центр.

Твердое тело эквивалентно системе материальных точек. Поэтому для него справедливо уравнение (2.22), согласно которому произведение массы системы (т.е. массы тела) на ускорение центра масс равно сумме внешних сил:

. (4.16)

Таким образом, центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к нему сил.

4 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Разобьем тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , на элементарные массы(рис. 7).

Тогда согласно формуле (4.8) момент импульса -той элементарной массы относительно точки, лежащей на оси вращения, равен

.

Здесь - радиус-вектор, определяющий положение массыотносительно

точки ,- скорость- той элементарной массы.

Момент импульса тела

Для твердого тела, как и для системы материальных точек, справедливо соотношение (4.14):

. (4.17)

Рис. 7

Найдем момент импульса твердого тела относительно оси вращения , т.е. проекцию векторана ось. На рис. 7 видно, что

,

где - расстояние массыот оси вращения. Учитывая, что, получим

Проекция момента импульса тела равна

(4.18)

Величина

, (4.19)

равная, сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерциитела относительно этой оси.

Отсюда

, (4.20)

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

Для момента импульса относительно оси справедлива формула (4.15), т.е.

Следовательно,

.

Приняв во внимание, что , а- проекция углового ускорения

на ось , придем к уравнению

. (4.21)

Это уравнение называют уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Оно аналогично уравнению второго закона Ньютона. Роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения – угловое ускорение, роль результирующей силы – суммарный момент внешних сил.

5 Момент инерции. Теорема Штейнера

Из определения момента инерции

следует, что эта величина аддитивная.

Суммирование в этом выражении заменяется интегрированием

, (4.22)

где , а- плотность тела в точке, в которой взят объем,- расстояние этого объема от оси, относительно которой вычисляется момент.

Если тело однородно, то , тогда

. (4.23)

Найдем, например, момент инерции однородного цилиндра относительно его геометрической оси (рис. 8).

Рис. 8

Разобьем цилиндр на слои радиуса и толщиной. Масса такого слоя равна. Вклад слоя в момент инерции равен

.

Искомый момент инерции:

, (4.24)

где - масса цилиндра.

Отметим, что полученное выражение не зависит от высоты цилиндра . Следовательно, формула (4.24) определяет также момент инерции тонкого диска относительно геометрической оси.

Рассмотрим произвольное тело и две параллельные друг другу оси, одна из которых (ось ) проходит через центр масс тела, а другая (ось) отстоит от первой на расстоянии(рис. 9).

Рис. 9

Момент инерции относительно осиопределяется выражением:

.

Разобьем это выражение на три суммы:

Здесь - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

, где- координата центра масс, которая при данном выборе начала координат равна нулю.

Таким образом,

. (4.25)

Это соотношение выражает теорему Штейнера, которая гласит, что момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Например, момент инерции цилиндра относительно оси, совпадающей с образующей цилиндра (см. рис. 8) равен:

Вычислим момент инерции тонкого однородного стержня массы и длиныотносительно оси, проходящей через его конец (рис. 10).

Рис. 10

(4.26)

С помощью теоремы Штейнера найдем момент инерции стержня относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через его центр. Согласно (4.25)

,

откуда

(4.27)

Наконец, приведем без вывода значение момента инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр.

, (4.28)

где - масса,- радиус шара.