
- •Глава 4 Закон сохранения момента импульса. Механика твердого тела
- •1 Момент силы
- •2 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса
- •3 Плоское движение твердого тела
- •4 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5 Момент инерции. Теорема Штейнера
- •6 Кинетическая энергия вращающегося тела
- •7 Кинетическая энергия тела при плоском движении
ФИЗИКА
Модуль 1.4
Глава 4 Закон сохранения момента импульса. Механика твердого тела
1 Момент силы
Моментом силы относительно точки
называется вектор
,
равный векторному произведению векторов
и
:
, (4.1)
где
- радиус-вектор точки приложения силы
,
проведенный из точки
,
относительно которой определяется
момент (рис. 1).
Рис. 1
Модуль вектора
равен произведению модуля силы
на ее плечо
:
(4.2)
где
- угол между
и
.
Плечом силыназывают длину
перпендикуляра, опущенного из точкина прямую, вдоль которой действует сила.
Направлен вектор
перпендикулярно к плоскости, в которой
лежат сила
и точка
,
причем так, что направление вращения,
обусловленного силой, и направление
вектора
образуют правовинтовую систему (поворот
головки винта или буравчика в направлении
силы вызвал бы перемещение винта в
направлении вектора
).
Поскольку его направление определяется
условно,
является псевдовектором.
Если тело может вращаться вокруг точки
произвольным образом, то под действием
силы тело повернется вокруг оси,
совпадающей с направлением момента
.
Момент силы
называют такжевращающим моментом.
Проекция вектора
на произвольную ось
,
проходящую через точку
,
называетсямоментом силы относительно
этой оси:
. (4.3)
Разложим силу
на три составляющие, как показано на
рис. 2, а именно
где
- параллельная оси
,
- перпендикулярная оси
,
- направленная по касательной к окружности
радиуса
.
Рис. 2
Представим момент силы
относительно точки
в виде
.
Моменты
и
перпендикулярны к оси
,
поэтому их проекции на эту ось
равны нулю. Следовательно ,
(4.4)
Из трех составляющих силы
вращение вокруг оси
может вызвать только сила
,
причем она тем лучше осуществит этот
поворот, чем больше ее плечо
относительно точки
.
Две равные по модулю противоположно
направленные силы, не действующие вдоль
одной прямой, называются парой сил(рис. 3). Расстояниемежду прямыми, вдоль которых действуют
силы, называется плечом пары.
Рис. 3
Суммарный момент сил относительно точки
равен
.
Учтя, что
,
можно написать
, (4.5)
где
(рис. 3). Полученное выражение не зависит
от положения точки
.
Следовательно, момент пары сил относительно
любой точки будет одним и тем же. Вектор
перпендикулярен к плоскости, в которой
лежат силы, а его модуль равен произведению
любой из сил на плечо:
. (4.6)
Силы гравитационного и кулоновского
взаимодействия между двумя частицами
образуют пару с плечом
,
равным нулю. Поэтому их суммарный момент
относительно любой точки равен нулю.
Отсюда следует, что сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю:
(4.7)
2 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса
Моментом импульса материальной точки
(частицы) относительно точки
называется векторная величина
, (4.8)
где
- радиус- вектор, определяющий положение
частицы относительно точки
,
- импульс частицы (рис. 4).
Модуль момента импульса равен
,
(4.9)
где
- плечо импульса
.
Рис. 4
Частица обладает моментом импульса
,
независимо от формы траектории, по
которой она движется. Рассмотрим два
частных случая.
1. Частица движется по прямолинейной траектории (рис. 5).
Рис. 5
2. Частица движется по окружности радиуса
(рис. 6).
Рис. 6
Проекция вектора
на произвольную ось
,
проходящую через точку
,
называетсямоментом импульса частицы
относительно этой оси:
. (4.10)
Выясним, от чего зависит изменение момента импульса. Для этого продифференцируем выражение (4.8) по времени:
Учитывая, что
,
,
а
,
,
мы приходим куравнению моментов:
, (4.11)
согласно которому скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу.
Записав уравнение (4.11) в проекции на ось
,
получим
. (4.12)
Таким образом, производная по времени от момента импульса относительно оси равна моменту сил, действующих на частицу, относительно той же оси.
Рассмотрим систему частиц, на которые
действуют как внутренние, так и внешние
силы. Момент импульса
системы относительно точки
равен:
. (4.13)
Дифференцирование по времени дает, что
Учитывая (4.11), получим:
.
Согласно (4.7)
,
поэтому получаем окончательно, что
. (4.14)
или в проекциях на произвольную ось
(4.15)
Если система замкнута (т.е. внешних сил
нет), правая часть равенства (4.15) равна
нулю и, следовательно, вектор
не изменяется со временем. Отсюда
вытекаетзакон сохранения момента
импульса: момент импульса замкнутой
системы материальных точек остается
постоянным. Согласно (4.15) в незамкнутой
системе сохраняется момент импульса
системы относительно оси
,
т.е.
,
при условии, если сумма моментов внешних
сил относительно этой оси равна нулю:
.
В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т.е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного положения и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц друг относительно друга после поворота будет таким же, как до поворота.