модуль 2

ФИЗИКА

Модуль 2.3

5 Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Формула (1.17) является интегральной формой теоремы Гаусса. Найдем дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объемной плотностью заряда и изменениями напряженности в окрестности данной точки пространства.

Для этого представим сначала заряд в объеме , охватываемом замкнутой поверхностью , как , где - средняя по объему значение объемной плотности заряда.

Затем подставим это выражение в уравнение (1.17) и разделим обе части его на . В результате получим:

(1.27)

Теперь устремим объем к нулю, стягивая его к интересующей нас точке поля. Очевидно, что будет стремиться к значению в данной точке.

Предел отношения к при называется дивергенцией поля и обозначается . Таким образом, по определению:

(1.28)

Дивергенция происходит от латинского слова divergentia – расхождение. Аналогично (1.28) определяется дивергенция любого другого векторного поля в данной точке.

Отсюда

- (1.28а)

- теорема Остраградского – Гаусса или теорема о дивергенции. Она справедлива для любого векторного поля.

Чтобы получить выражение для дивергенции поля , надо согласно (1.28) взять бесконечно малый объем , определить поток вектора сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем, и найти отношение этого потока к объему. Например, в декартовой системе координат выражение для дивергенции будет равно:

(1.29)

Итак, мы выяснили, что при в выражении (1.27) его правая часть стремится к , а левая – к .

Следовательно, мы приходим к формуле:

, (1.30)

которая выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме: дивергенция вектора в некоторой точке электростатического поля равна объемной плотности заряда в той же точке, деленной на .

Написание многих формул значительно упрощается, если ввести векторный дифференциальный оператор («набла»). В декартовых координатах он имеет вид:

, (1.31)

где , , - орты осей , , . Если вектор умножить скалярно на вектор , то получим:

,

а это есть не что иное, как , согласно (1.29). Таким образом, , и теорема Гаусса (1.30) будет иметь вид:

(1.32)

В тех точках поля, где дивергенция положительна, мы имеем источники поля (положительные заряды), а тех точках, где она отрицательна – стоки (отрицательные заряды). Линии вектора выходят из источников поля, а в местах стоков они заканчиваются.

6 Работа сил электростатического поля. Циркуляция вектора

Если задан вектор , то можно говорить, что нам известно электростатическое поле.

На точечный заряд , находящийся в электростатическом поле , действует сила . При перемещении заряда в поле эта сила совершает работу:

. (1.33)

Докажем, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле зависит лишь от его начального и конечного положений и не зависит от пути движения.

Доказательство: Пусть точечный заряд находится в поле неподвижного точечного заряда и перемещается вдоль изображенной на рис. 19 траектории из положения 1 в положение 2. Найдем работу , совершаемую при этом над зарядом силами поля. На заряд действует кулоновская сила:

, (1.34)

где - напряженность поля, создаваемого зарядом . Эта сила является центральной, т.к. ее модуль зависит только от расстояния до силового поля. Элементарная работа силы равна:

,

где - перемещение заряда .

Из рис. 19 следует, что . С учетом этого для работы 1-2 получается выражение:

(1.35)

Полученный результат означает, что работа силы (1.34) не зависит от пути перемещения, а зависит лишь от начального и конечного положений заряда (от и ).

Рис. 19

Это результат можно было предвидеть, поскольку, как было показано в механике, центральные силы являются потенциальными. Работа потенциальных сил на любом замкнутом пути равна нулю: .

Силовое поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным.

В случае электростатического поле:

, отсюда

(1.36)

Интегрирование по замкнутому пути называется циркуляцией вектора и обозначается .

Итак, циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна нулю – это есть теорема о циркуляции вектора , а также условие потенциальности электростатического поля.

7 Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов. Потенциал

Работа потенциальных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии:

.

Из формулы (1.35) следует, что:

Приравняв эти два соотношения, будем иметь выражение для потенциальной энергии, которой обладает заряд в поле заряда :

Значение константы обычно выбирается так, чтобы при удалении заряда от заряда на бесконечность (т.е. при ) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии

. (1.37)

Скалярная величина

(1.38)

называется потенциалом поля в данной точке, он численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке единичный положительный заряд.

Из формулы (1.37) следует, что потенциал поля точечного заряда определяется выражением:

, (1.39)

где - расстояние от заряда до данной точки поля.

Из определения потенциала (1.38) ясно, что любой заряд , находящийся в поле с потенциалом , обладает потенциальной энергией:

(1.40)

Следовательно, работу сил поля над зарядом можно выразить через разность потенциалов:

(1.41)

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению заряда на убыль потенциала , которая называется разностью потенциалов.

Таким образом, разность потенциалов равна:

(1.42)

Если заряд из точки с потенциалом удаляется на бесконечность, где , работа сил поля равна:

=.

Отсюда следует второе определение потенциала: потенциал

численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из точки на бесконечность.

Принцип суперпозиции потенциала

Как мы выяснили ранее, потенциал – это энергетическая характеристика электростатического поля, скалярная величина.

Следовательно, потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

, (1.43)

где - потенциал поля, которое создает заряд в данной точке.

За единицу потенциала, называемую вольтом, принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного одному кулону, нужно совершить работу в один джоуль:

1 Дж = 1 Кл · 1 В. Отсюда

1 В= (1.44)

В физике часто используют единицу работы и энергии – электронвольт (эВ).

Он равен работе, совершаемой силами поля над элементарным зарядом при прохождении им разности потенциалов в один вольт:

1 эВ = 1,6 · 10^-19 Кл · 1 В = 1,6 · 10^-19 Дж (1.45)

1кэВ = 10³ эВ, 1 МэВ = 10⁶ эВ, 1 ГэВ = 10⁹ эВ.

Тесты

1. Работа, необходимая для перемещения единичного положительного заряда из данной точки электростатического поля в бесконечность, называется:

1.потенциальной энергией электрического поля 2. работой сил сопротивления 3. работой полярных сил 4.потенциалом электрического поля 5. работой сил упругости.

2. Работу по перемещению заряда q в электрическом поле можно вычислить по формуле:

1. 2. 3. 4.

3. Работа сил поля точечного заряда по перемещению в этом поле заряда с расстояния до (от заряда ) может быть определена следующим образом (указать неверный ответ):

1. 2. 3. ;

4. 5. все перечисленные варианты правильные.

4. Скорость электрона увеличилась от 10⁶ м/с до 3 10⁶ м/с. Масса электрона 9,1 10^-31 кг. Разность потенциалов начальной и конечной точек пути равна

1. 22,75 В 2. 11,375 В 3. -22,75 В 4. -11,375 В

5. Работа сил электростатического поля при перемещении заряда -2 Кл из точки поля с потенциалом 80 В в точку поля с потенциалом 40 В равна:

1.(-40) Дж 2-(-20) Дж 3.(-80) Дж 4.80 Дж 5. 40 Дж.

6. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля по замкнутому контуруравна:

1. 2. 3. 4. ,

где N- поток вектора напряженности E.

7. Определить кинетическую энергию заряда 1.41 Кл. , который из состояния покоя прошел разность потенциалов 500 В.

1. 1410 Дж. 2. 705 Дж. 3. 352.5 Дж. 4. 2115 Дж..

8. Заряженная частица массой 0,1 г и зарядом 1 нКл проходит расстояние между двумя точками электростатического поля, разность потенциалов между которыми составляет 500 В. Определить скорость частицы в конце пути (начальную скорость принять равной нулю).

1. 0,01 м/с 2. 0,1 м/с 3. 10^–5 м/с 4. 3·10^–3 м/с 5. 3·10^–1 м/с

6