Численные методы_1(вопросы)_

Численные методы - ПМ

Вычислительная математика – ВТ

Часть 1. Численные методы алгебры

Введение

1. Характеристика дисциплины

   1. Место дисциплины в Computer Science

   2. Типичные математические задачи

   3. Связь с другими дисциплинами

   4. Содержание дисциплины

   5. Литература

2. Анализ задач и вычислений

   1. Анализ алгоритма

   2. Обусловленность задачи и вычислений

3. Математические особенности машинной арифметики

   1. Позиционные системы счисления и округление чисел

   2. Представление чисел с фиксированной и плавающей точкой

   3. Арифметические операции

   4. Порядок вычислений

Глава 1. Решение СЛАУ, обращение матриц и вычисление определителей

1. Прямые методы решения СЛАУ, обращения матриц и вычисления определителей

   1. Метод Гаусса

   2. Компактная схема (метод LU-разложения)

   3. Метод квадратных корней (метод Холецкого)

   4. Методы решения систем с ленточными матрицами

   5. Метод Жордана

   6. Решение систем с блочными матрицами

   7. Метод вращения

   8. Метод отражения

   9. Методы ортогонализации

   10. Сравнительная характеристика разложений матрицы

   11. Специальные методы обращения матриц

   12. Нормы и пределы векторов и матриц

   13. Обусловленность задач решения СЛАУ и обращения матриц

   14. О решении плохообусловленных систем

   15. Уточнение решений

2. Итерационные методы решения СЛАУ

   1. Метод последовательных приближений

   2. Метод Зейделя

   3. SOR- (ПВР-) метод и другие методы координатной релаксации

   4. Градиентные методы

   5. Методы сопряженных направлений

3. Методы решения систем с прямоугольными особенными и плохообусловленными матрицами

   1. Классификация задач

   2. Трансформации Гаусса

   3. Псевдообратная матрица

   4. Использование ортогональных преобразований для систем с матрицами полного ранга

   5. Нормализованный процесс разложения матрицы

   6. Использование нормализованного процесса разложения матрицы

   7. Использование сингулярного разложения матрицы

   8. Замечания

4. Решение задач с разреженными матрицами

   1. Экономные схемы хранения ненулевых элементов

   2. Операции с разреженными матрицами

   3. Специальные структуры разреженных матриц

   4. Прямые методы решения без изменения структуры матрицы

   5. Прямые методы решения с минимизацией заполнения матрицы

   6. Итерационные методы решения систем

Глава 2. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

1. Методы нахождения корня трансцендентного уравнения

   1. Метод последовательных приближений

   2. Метод бисекции

   3. Методы хорд и ложного положения

   4. Метод Ньютона

   5. Метод секущих

   6. Интерполяционные методы

2. Методы нахождения корней алгебраических многочленов

   1. Схема Горнера

   2. Методы определения границ корней

   3. Методы определения числа вещественных корней

   4. Метод Лобачевского-Грефе

   5. Другой метод нахождения всех корней

   6. Методы выделения множителей

   7. Метод наискорейшего спуска

3. Методы решения систем нелинейных уравнений

   1. Метод последовательных приближений

   2. Метод Ньютона

   3. Метод секущих

   4. Интерполяционные методы

   5. Метод Зейделя

   6. Комбинированные методы и аналоги методов решения СЛАУ

   7. Метод наискорейшего спуска

   8. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений

Глава 3. Решение проблемы собственных значений для матриц

1. Виды задач, классификация. обусловленность

   1. Виды задач на собственные значения

   2. Классификация методов решения

   3. Обусловленность проблемы собственных значений

2. Прямые методы решения обычной проблемы собственных значений

   1. Метод Леверье

   2. Метод Д.К.Фаддеева

   3. Метод Данилевского

   4. Вычисление характеристического многочлена для матриц специального вида

   5. Метод Гивенса

   6. Метод Хаусхольдера

   7. Метод Ланцоша

3. Итерационные методы решения полной проблемы собственных значений

   1. Использование методов нахождения корней алгебраического многочлена

   2. Методы деления спектра

   3. Метод Якоби

   4. Уточнение приближений к собственным значениям после метода Якоби

   5. LR-алгоритм

   6. QR-алгоритм

   7. Решение обобщенной и полиномиальной задач

4. Методы решения частичной проблемы собственных значений

   1. Степенной метод

   2. Метод обратных итераций

   3. Метод градиентной релаксации

   4. Метод координатной релаксации

   5. Методы уточнения собственных значений

   6. Метод одновременных итераций

   7. Метод итерации подпространств

5. Методы исчерпывания и понижения размеров

   1. Методы Виландта и Хотеллинга исчерпывания собственного значения матрицы

   2. Обобщения методов Виландта и Хотеллинга для обычной и обобщенной проблем

   3. Исчерпывания собственных значений полиномиальной матрицы

   4. Понижение размеров матрицы с исчерпыванием собственного значения

   5. Понижение размеров матрицы с исчерпыванием группы собственных значенийя