§15. Решение задач

Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки и мостовые фермы.

В технике обычно встречаются три типа опорных закреплений (кроме рассмотренных в § 2):

1. Подвижная шарнирная опора (рис. 28, опора А). Реакция такой опоры направлена по нормали к поверхности на которую опираются катки подвижной опоры.

2. Неподвижная шарнирная опора (рис. 28, опора В). Реакция такой опоры проходит через ось шарнира и может иметь любое направление в плоскости чертежа. При решении задач будем реакциюизображать ее составляющимиипо направлениям координатных осей. Модульопределим по формуле .

3. Жесткая заделка (рис. 29, а). Рассматривая заделанный конец балки и стену как одно целое, жесткую заделку изображают так, как показано на рис. 29, б. В этом случае на балку в ее поперечном сечении действует со стороны заделанного конца система распределенных сил (реакций). Считая эти силы приведенными к центру А сечения, можно их заменить одной силой и парой с неизвестным моментомm_A (рис. 29, а). Силу можно изобразить ее составляющими,(рис. 29, б).

Таким образом, для нахождения реакции жесткой заделки надо определить три неизвестные величины X_A, Y_A, m_A.

Рис. 28 Рис. 29

Отметим также, что в инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль поверхности по тому или иному закону. Рассмотрим некоторые примеры распределенных сил.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т.е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры (Н/м).

а) Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой (рис. 30, а). Для такой системы интенсивность q имеет постоянное значение. При расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей . По модулю

Q = aq . (33)

Приложена сила Q в середине отрезка АВ.

б) Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону (рис. 30, б). Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения q_m. Модуль равнодействующей в этом случае определяется по формуле

Q = 0,5aq_m . (34)

Приложена сила на расстоянииа/3 от стороны ВС треугольника АВС.

Рис. 30

Задача 3. Определить реакции неподвижной шарнирной опоры А и подвижной опоры В балки (рис. 31), на которую действуют активные силы: одна известная сосредоточенная сила F = 5 кН, приложенная в точке С под углом 60⁰, и одна пара сил с моментом m = 8 кНм.

Рис. 31

Решение. 1) Выбираем объект исследования, т.е. рассматриваем равновесие балки АВС. 2) Изобразим внешние силы, действующие на балку: силу , пару сил с моментомm и реакции связей , , (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими). В результате имеем произвольную плоскую систему сил. 3) Проведем координатные оси x, y и составляем условия равновесия (28). Для вычисления момента силы , иногда, удобно разложить ее на составляющие и , модули которых равняются F₁ = F cos60⁰ = 2,5 кН, F₂ = F cos30⁰ = 4,33 кН. Тогда получим:

, ,

.

Решая эту систему уравнений, найдем:

X_A = F₁ = 2,5 кН, Y_B = (m + F₂∙5)/3 = 9,88 кН, Y_A = F₂ – Y_B = – 5,55 кН.

Знак минус реакции Y_A показывает, что эта реакция направлена вертикально вниз.

Для проверки составим уравнение моментов относительно нового центра, например, относительно точки В:

, 5,55∙3 – 8 – 4,33∙2 = – 0,01 ≈ 0.

Задача 4. Определить реакции заделки консольной балки (рис. 32), на которую действуют активные силы: сосредоточенная сила F = 6 кН, приложенная в точке С под углом 45⁰, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м и пара сил с моментом m = 3 кНм.

Рис. 32

Решение. 1) Выбираем объект исследования, т.е. рассматриваем равновесие балки АВС. 2) Изобразим внешние силы, действующие на балку: силу , равномерно распределенную нагрузку интенсивностьюq, пару сил с моментом m и реакции заделки, т.е. три неизвестные величины X_A, Y_A, m_A (реакцию жесткой заделки изображаем двумя ее составляющими X_A, Y_A, а пару – неизвестным моментом m_A, как на рис. 29). Силу разложим на две составляющие и , модули которых равняются F₁ = F₂ = F cos45⁰ = 4,24 кН, а распределенную нагрузку интенсивностью q заменим сосредоточенной силой с модулем равным

Q = 3∙q = 6 кН.

Сила приложена в середине отрезка АВ. В результате имеем произвольную плоскую систему сил. 3) Проведем координатные оси x, y и составляем уравнения равновесия (2):

, ,

.

Решая эти уравнения, найдем:

X_A = F₁ = 4,24 кН, Y_A = Q – F₂ = 1,76 кН, m_A = Q∙1,5 + m – F₂∙5 = – 9,2 кНм.

Для проверки составим уравнение моментов относительно точки С:

, – 9,2 + 21 – 3 – 8,8 = 0.

Задача 5. Определить реакции опор А, В, С и усилие в промежуточном шарнире D составной конструкции (рис. 33), на которую действуют активные силы: сосредоточенная сила F = 4 кН, приложенная в точке Е под углом 45⁰, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м и пара сил с моментом m = 10 кНм.

Рис. 33

Решение. Один из способов решения задач об определении реакции опор составной конструкции состоит в том, что конструкцию расчленяют на отдельные тела и составляют условия равновесия каждого из тел в отдельности. Воспользуемся этим способом и разобьем конструкцию на две части: левую AD и правую DC. В результате приходим к задаче о равновесии двух тел. Силовые схемы задачи показаны на рис. 7,8. Для упрощения вычислений разложим силу на составляющие и , модули которых равны F₁ = F₂ = F cos45⁰ = 2,83 кН, а распределенную нагрузку интенсивностью q заменим сосредоточенной силой с модулем равнымQ = 10 кН. Сила приложена в середине отрезкаBD.

Рис. 34 Рис. 35

Анализ приведенных силовых схем показывает, что они включают шесть неизвестных величин: X_A, Y_A, Y_B, X_D, Y_D, Y_C.

Так как на рис. 34,35 имеются плоские системы уравновешенных сил, то для них можно записать условия равновесия (28) в виде шести линейных алгебраических уравнений:

Левая часть Правая часть

, ,

, ,

, .

Поскольку составленная система шести уравнений зависит от шести неизвестных X_A, Y_A, Y_B, X_D, Y_D, Y_C, то она является замкнутой.

Решая систему, найдем:

X_A = – 2,83 кН, Y_A = – 0,93 кН, Y_B = 11,76 кН, Y_C = 2 кН, X_D = 0, Y_D = 2 кН.

Для проверки составим уравнение моментов относительно точки D:

= 2,83∙7 – (– 0,93)∙15 – 11,76∙5 + 10∙2,5 – 10 + 2∙5 = – 0,04 ≈ 0.