§ 14. Равновесие плоской системы сил. Случай параллельных сил

Необходимые и достаточные условия равновесия любой системы сил даются равенствами

, ,

выражаемыми формулами (24). Найдем вытекающие отсюда аналитические условия равновесия плоской системы сил.

1. Основная форма условий равновесия. Так как вектор равен нулю, когда равны нулю его проекции R_x и R_y, то для равновесия должны выполняться равенства R_x = 0, R_y = 0 и M_O = 0, где в данном случае M_O – алгебраический момент, а О – любая точка в плоскости сил. Но из формул (26) следует, что предыдущие равенства будут выполнены, когда действующие силы удовлетворяют условиям:

, ,. (28)

Формулы (28) выражают следующие аналитические условия равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю. Одновременно равенства (28) выражают условия равновесия твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил.

2. Вторая форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось Оx, не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:

, ,. (29)

Необходимость условий очевидна, так как если любое из них не выполняется, то или ; или () и равновесия не будет. Докажем их достаточность. Если для данной системы сил выполняются только первые два из условий (35), то для нее M_A = 0 и M_B = 0. Такая система может не находится в равновесии, а иметь равнодействующую , одновременно проходящую через точки А и В (рис. 26). Но по третьему условию должно быть . Так как ось Оx проведена не перпендикулярно к АВ, то последнее условие может быть выполнено, только когда, т.е. когда имеет место равновесие.

Рис. 26

3. Третья форма условий равновесия (уравнения трех моментов): для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

,,. (30)

Необходимость условий очевидна. Достаточность условий (30) следует из того, что если при одновременном выполнении этих условий данная система сил не находилась бы в равновесии, то она должна была бы приводится к равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В и С, что невозможно, так как эти точки не лежат на одной прямой. Следовательно, при выполнении условий (30) имеет место равновесие.

4. Равновесие плоской системы параллельных сил. В случае, когда силы параллельны друг другу, можно направить ось Оx перпендикулярно силам, а ось Оy параллельно им (рис. 27). Тогда проекция каждой из сил на ось Оx будет равна нулю и первое из равенств (28) обратится в тождество вида. В результате для параллельных сил останется два условия равновесия:

,. (31)

где Оy параллельна силам.

Другая форма условий равновесия для параллельных сил, получающаяся из равенств (29), имеет вид:

,. (32)

При этом точки А и В не должны лежать на прямой, параллельной силам.

Рис. 27