§12. Условия равновесия системы сил.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись условия

, , (24)

где О – любой центр, так как при значение от выбора центра О не зависит.

Условия (24) являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда ), или к паре сил (когда ) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно условия (24) являются и достаточными, потому что при система сил может приводится только к паре с моментом, а так как , то имеет место равновесие.

Теорема Вариньона: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно того же центра.

Пусть система сил ,, …,приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через некоторую точку С (рис. 24). Приложим в этой точке силу. Тогда система сил,, …,, будет находиться в равновесии и для нее должно выполнятся условие, т. е. для данных сил должно быть

.

Но так как и обе силы направлены вдоль одной и той же прямой, то

.

Подставляя это значение в предыдущее равенство, найдем из него, что

. (25)

Тем самим теорема доказана.

Рис. 24

§13. Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Результат, полученный в §11, справедлив и в частном случае плоской системы сил. Плоская система сил тоже приводится к силе, равной и приложенной в произвольно выбранном центре О, и паре сил с моментом, но сила и пара лежат в данном случае в одной плоскости – в плоскости действия сил (рис. 25, а, где пара изображена дуговой стрелкой). Значения главного вектора и главного момента даются формулами (22) и (23); при этом вектор можно определить или геометрически построением силового многоугольника (§ 3), или аналитически по формулам (8) из § 4.

Рис. 25

Таким образом, для плоской системы сил

, ,, (26)

где все моменты в равенстве алгебраические и сумма тоже алгебраическая. Найдем, к какому простейшему виду может приводиться данная плоская система сил, не находящаяся в равновесии.

1. Если для данной системы сил , а, то она приводится к одной паре с моментом . Как показано в §11, значениев этом случае не зависит от выбора центра О.

2. Если для данной системы сил , то она приводится к одной силе, т.е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:

а) ,. В этом случае система приводится к равнодействующей, проходящей через центр О;

б) , . В этом случае пару с моментом можно изобразить двумя силамии, беря, а(рис. 25, б). При этом, если d = OC – плечо пары, то должно быть

. (27)

Отбросив теперь силы и, как уравновешенные, найдем, что вся система сил заменяется равнодействующей, проходящей через точку С. Положение точки С определяется двумя условиями: 1) расстояние OC = d () должно удовлетворять равенству (27); 2) знак момента относительно центра О силы, приложенной в точке С, т.е. знак, должен совпадать со знакомM_O.

Таким образом, плоская система сил, не находящаяся в равновесии, может быть окончательно приведена или к одной силе, т.е. к равнодействующей (когда ), или к паре сил (когда ).