15.4. Теорема о взаимности реакций и перемещений

На рис. 15.5 показаны два состояния произвольной статически неопределимой системы (рамы). В первом состоянии (состоянии i) на раму действует обобщённая силаF_i = 1. Опорная связьjполучает единичное перемещение во втором состоянии (состоянииj). Введём обозначения:r'_ji– реакция вj-й связи от обобщённой силыF_i = 1 в состоянииi,'_ij– перемещение по направлению обобщённой силыF_i = 1 от смещения связиjна единицу в состоянииj. За положительное направление перемещения'_ijпримем перемещение, происходящее по направлению обобщённой силыF_i = 1, а за положительную реакциюr'_ji­реакцию, направление которой совпадает с перемещениемj-й связи.

Для состояний iиjиспользуем теорему о взаимности возможных работ внешних сил (см. соотношение (15.3) в п. 15.1).

W_ext,ij = 1  '_ij + r'_ji­  1.

Возможная работа W_ext,jiвнешних сил состоянияjна перемещениях, вызываемых внешними силами состоянияi, равна нулю, так как в состоянииiперемещения по направлению опорных связей в том числе и по направлению связиj, отсутствуют, т.е.

W_ext,ji= 0.

В соответствии с выражением (15.3) W_ext,ij=W_ext,ji, поэтому

1 '_ij+r'_ji­1 = 0, илиr'_ji­= –'_ji. (15.6)

Соотношение (15.6) является математической формулировкой теоремы о взаимности реакций и перемещений: реакция в j-й связи сооружения от обобщённой силыF_i= 1 с обратным знаком численно равна перемещению в направленииi-й обобщённой силы от смещенияj-й связи на единицу (вторая теорема Рэлея).

При определении размерности величины r'_ji­и'_jiнеобходимо учитывать их удельный характер, т.е. то обстоятельство, что они вызываются, соответственно, единичной обобщённой силой и единичным смещением связи.

Теорема о взаимности реакций и перемещений применяется в расчётах статически неопределимых систем смешанным методом.

15.5. Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему о взаимности возможных работ внешних сил. Какие теоремы взаимности строительной механики вытекают из этой теоремы?

2. Сформулируйте теорему о взаимности перемещений и запишите её в математической форме.

3. Консольный стержень в состоянииiзагружен сосредоточенной силойF_i = 1, а в состоянииj– сосредоточенным моментомM_j = 1 (рис. 15.6). Покажите на чертеже возможные перемещения_ijи_ji. Какую размерность имеют величины этих перемещений?

4. Сформулируйте теорему о взаимности реакций и запишите её в математической форме.

5. В двухпролётной неразрезной балке в состоянии iправая опорная связь получает перемещение вверх на единицу, а в состоянииjперемещение на единицу в таком же направлении получает средняя опорная связь (рис. 15.7). Покажите на чертеже реакцииr_ijиr_ji. Какую размерность имеют величины этих реакций?

6. Сформулируйте теорему о взаимности реакций и перемещений и запишите её в математической форме.

7. В стержне, защемлённом на левом конце и шарнирно опёртом на правом, в состоянии iлевая угловая связьiповёрнута на угол равный единице, а в состоянииjна стержень действует единичная сосредоточенная силаF_j = 1 (рис. 15.8). Покажите на чертеже реакциюr'_ijи перемещение'_ji. Какую размерность имеют величиныr'_ijи'_ji?