Тема 6. Неопределенный интеграл.

Основные вопросы теории.

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.

2. Основные методы интегрирования.

Для справок приводим таблицу основных интегралов

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Свойства неопределенного интеграла:

1. 

2. 

Примеры решения задач.

Задача 13. Найти интегралы:

Решение.

а) Преобразуем подынтегральную функцию, введя дробные и отрицательные показатели степени( см.(*) и (**)) на стр 16.), затем применим свойства неопределенного интеграла и табличные формулы

б) применяя свойства неопределённого интеграла и формулы (4), (6) таблицы интегралов, получим:

в) Воспользуемся тем, чтоа затем выполним деление под знаком интеграла:

Записав полученный интеграл в виде разности двух интегралов, по формулам (8) и (1) таблицы получим:

г) Раскрыв скобки и записав интеграл в виде разности интегралов, а затем применив формулы (5) и (9) таблицы, имеем:

Все рассмотренные неопределенные интегралы найдены при помощи свойств неопределённого интеграла, простейших тождественных преобразований и основных табличных интегралов.

В более сложных случаях, когда этот способ не позволяет получить результат, иногда помогает переход к новой переменной (интегрирование подстановкой). В таких случаях целесообразнее пользоваться таблицей интегралов, в которой за аргумент принимается переменная u = u(x), являющаяся дифференцируемой функцией переменной x.

Приведём эту таблицу.

1а.

2a.

3a.

4a.

5a.

6a.

7a.

8a.

9a.

10a.

11a.

12a.

13a.

14a.

Задача 14. Найти:

а) б)

в) г)

Решение.

а)

Если ввести переменную z = 7x+3 и найти дифференциалы обеих частей равенства 7х+3 = z, то получим 7dx = dz, откуда и поэтому

Здесь применили формулу (6а) и затем перешли к прежнему аргументу, заменив z = 7x+3.

б)

Сделав подстановку z = 5+x². Найдём dz = 2xdxи оттуда применив формулу (2а) и перейдя к прежнему аргументу, имеем

То есть

в)

Здесь удобно заменить lnx = z и, найдя подставить в подынтегральное выражение:

г)

В этом случае целесообразно заменить а затем, введя новую переменнуюz = cosx, найти dz = - sinxdx. Поставив под знак интеграла sinxdx= -dz и cosx = z, получем результат:

Тема 7. Определённый интеграл.

Основные вопросы теории:

1. Задачи приводящие к понятию определённого интеграла

2. Определённый интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определённого интеграла

3. Формула Ньютона – Лейбница для вычисления определённого интеграла.

4. Приближённое вычисление определённого интеграла.

5. Понятие о несобственном интеграле с бесконечными пределами.

6. Простейшие приложения определенного интеграла

Примеры решения задач.

Для вычисления определённого интеграла служит формула Ньютона - Лейбница:

где F(x)– первообразная функции

Задача 15

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x² – 6xи прямой y = 3x.

Решение.

Площадь Sфигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой y=f(x),снизу – непрерывной кривой y=g(x), вычисляется по формуле:

Найдём точки пересечения указанные в задаче 15 линий, решив систему

Тогда3x-3x²+6x=0, 9x-3x²=0, 3x∙(3-x)=0, откуда x=0, y=0 или х=3, у=9.

Следовательно, линии пересекаются в точках: О(0,0), А(3,9). Парабола у=3х²-6х пересекает ось ОХ в точках, где у=0, т.е. 3х²-6х=0, 3х∙(х-2)=0, х=0 или х=2. Поэтому порабола пересекает ось ОХ в точках О(0,0) и В(2,0). Вершина параболы Симеет координаты х=1, у(1)=3∙1²-6∙1=-3, т.е. С(1,-3).

Здесь f(x)=3x, g(x)=3x²-6x, a=0, b=3, поэтому воспользовавшись формулами (2) и (1), получим: