4. Примеры решения задач

1) Задача на применение закона Кулона.

Два одинаковых маленьких шарика массой по 2г подвешены на шелковых нитях длиной 1м каждая в одной точке. После того как шарикам сообщили одинаковый положительный заряд, они разошлись на расстояние 4см. Определите величину заряда каждого шарика.

Решение:

На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести , сила Кулонаи сила натяжения нити

Запишем краткое условие задачи.

Дано: СИ

m=2г =2·10^-3кг

=1м

r=4см =4·10^-2м

q-?

Так как шарики находятся в покое, векторная сумма этих сил равна нулю: . Это возможно только в том случае, если равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити уравновешивается силой отталкивания:. По закону Кулона. Приравниваем правые частии. Угол α найдем, зная, чтои тогда.

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления: .

.

Ответ: 8,34нКл.

2) Задача на применение принципа суперпозиции.

Два заряда по 20мкКл расположены на расстоянии 6 см друг от друга. Найти напряженность в точке, удаленной на 5см от каждого заряда, если заряды одноименные.

Запишем краткое условие задачи.

Дано: СИ Решение:

q₁= 2нКл = 2·10^-9Кл

Построим в точке, где ищем напряженность, вектора напряженностей иэлектрических полей, создаваемых зарядамиq₁ и q₂ с учетом знаков зарядов.

q₂= 2нКл = 2·10^-9Кл

a= 6см =6·10^-2м

b= 5см =5·10^-2м

Е-?

По принципу суперпозиции результирующая напряженность .

По теореме косинусов модуль результирующей напряженности , где

, так как заряды по модулю равны и равны расстояния от зарядов до точки, в которой ищем результирующую напряженность. α -угол между векторами и. Как видно из рисунка этот угол равен углу, лежащему напротив отрезка а в треугольнике, образованном отрезкамиa, b, b. По теореме косинусов найдем cosα: .

По формулам приведения , следовательно

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления: .

Ответ: 11,5 кВ/м.

3) Задача на работу сил электрического поля.

Шарик массой 10^-4кг перемещается вдоль силовой линии однородного электрического поля из точки 1 с потенциалом 1000В в точку 2 с потенциалом равным 100В. Определите скорость шарика в точке 1, если в точке 2 его скорость 20м/с. Заряд шарика 10^-5Кл.

Запишем краткое условие задачи.

Решение:

Работа, совершенная силами электрического поля при перемещении заряженного шарика из точки 1 в точку 2, равна изменению его кинетической энергии :,где,

Д ано:

q=10^-5Кл

m=10^-4кг

φ₁=1000В

φ₂=100В

v₂=20м/с

v₁-?

, -кинетические энергии шарика в точках 2 и 1 соответственно. С другой стороны работу поля можно найти через разность потенциалов:.. Отсюда.

Проведем проверку размерности:

=

Произведем вычисления:

Ответ: 14,8м/с

4) Задача на использование формул потенциальной энергии и емкости конденсатора.

Какую работу нужно совершить, чтобы удалить слюдяную пластинку из плоского конденсатора емкостью 10мкФ? Заряд конденсатора 100мкКл.

Решение:

Работа А равна изменению потенциальной энергии конденсатора, взятому со знаком минус: А = -(W_п2 – W_п1)

Запишем краткое условие задачи.

Дано: СИ

С₁=10мкФ =10^-5Ф

Q=100мкКл =10^-4Кл

А-?

где - потенциальная энергия конденсатора с пластинкой,- его потенциальная энергия без пластинки. Заряд конденсатора при удалении пластинки не изменился, так как он отключен от источника тока. Емкость конденсатора с пластинкойи без нее, ε₁, ε₂-диэлектрические проницаемости слюды и воздуха соответственно (из таблицы ε₁=6, ε₂=1). Разделим емкости конденсаторов друг на друга: .

Отсюда .

.

И искомая работа: .

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления:

Ответ: - 2,5мДж

5) Задача на применение закона Ома.

Лампа подключена медными проводами к источнику тока с ЭДС 2 В и внутренним сопротивление 0,04 Ом. Длина проводов 4 м, их диаметр 0,8 мм. Напряжение на зажимах источника 1,98 В. Найти сопротивление лампы.

Решение:

Напряжение на зажимах источника , отсюда сила тока в цепи.. Общее сопротивление проводов и лампы

Запишем краткое условие задачи.

Дано: СИ

Е=2В

r=0,05 Ом

=4м

d=0,8мм =8·10^-4м

U_вн=1,98В

R_л-?

, где , ρ-удельное сопротивление меди (из таблицы ρ=1,7·10^-8Ом·м),-площадь сечения провода, длина провода удваивается, так как провод двужильный. С другой стороны общее сопротивление цепи по закону Ома для однородного участка цепи:.

Тогда .

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления:

Ответ: 3,33 Ом

6) Задача на определение потерь мощности.

Ток мощностью 2·10⁸Вт необходимо передать на расстояние 200км при напряжении 2·10⁵В. Потери мощности на линии передачи не должны превышать 10%. Какого сечения нужно взять алюминиевый провод?

Решение:

По условию теряемая мощность . С другой стороны мощность электрического тока, выделяемая на проводнике, отсюда.

Запишем краткое условие задачи.

Дано: СИ

P=2·10⁸Вт

U=2·10⁵В.

=200км =2·10⁵м

k=0,1

S-?

С учетом того, что ток в цепи , получим. Сопротивление проводов, ρ=2,8·10^-8Ом·м – удельное сопротивление алюминия (из таблицы). Приравниваем два выражения для сопротивления.

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления:

Ответ: 5,6·10^-4м².

7) Задача на применение закона Био-Савара-Лапласа.

По квадратной рамке со стороной 0,2 м течет ток 4 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки.

Запишем краткое условие задачи.

Решение

Магнитное поле в центре рамки создается отрезками проводников с током, являющихся сторонами квадрата.

Дано:

а = 0,2м

I = 4 A

B -? H - ?

П

Направления векторов магнитной индукции в центре квадрата найдем по правилу правого буравчика; все они направлены в однусторону, перпендикулярно плоскости рамки от нас.

о принципу суперпозиции В = 4В₁ где В₁ – индукция магнитного поля, создаваемого одной стороной квадрата, по следствию из закона Био-Савара-Лапласа она равна ,

здесь r = а/2 – расстояние от проводника до центра квадрата, α₁ = 45⁰, α₂ = 135⁰.

Тогда получим расчетную формулу для В:

Произведем вычисления:

Индукция поля и напряженность связаны соотношением: .

Отсюда

Ответ: 22,6·10^-6 Тл; 18 А/м.

8) Задача на применение закона Ампера.

Прямолинейный проводник массой 2 кг и длиной 59 см помещен в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Какой ток должен проходить по нему, чтобы он висел не падая? Индукция однородного магнитного поля равна 15 Тл.

Запишем краткое условие задачи.

Решение:

Проводник не будет падать, если сила тяжести будет уравновешена силой Ампера, т.е. модули этих сил. Согласно закону Ампера.. Отсюда сила тока

Дано: СИ

m=2кг

=59см =0,59м

В=15Тл

α=90⁰

I-?

Проведем проверку размерности:

.

Произведем вычисления: .

Ответ: 2,2 А

9) Задача на силу Лоренца.

α-частица, ускоренная разностью потенциалов 250 В, влетает в однородное магнитное поле индукцией 25 мТл, перпендикулярно линиям магнитной индукции и движется по окружности. Найдите радиус окружности и период обращения α-частицы.

Запишем краткое условие задачи.

Решение:

Работа электрического поля затрачивается на увеличение кинетической энергии частицы:

Д ано: СИ

е=1,6·10^-19Кл

m_p=1,67·10^-27кг

U=250B

B=25мТл =25·10^-3Тл

α=90⁰.

R, T-?

.

В магнитном поле на движущуюся заряженную частицу действует сила Лоренца: , угол α=90⁰ и . Согласно второму закону Ньютона, где- центростремительное ускорение частицы, движущейся по окружности радиусаR. Получаем . Окончательно радиус окружности:.

Период обращения частицы найдем, разделив длину окружности на скорость частицы: .

Заряд α-частицы: , ее масса

Проведем проверку размерности:

=

Произведем вычисления:

Ответ: 0,13 м; 5,2·10^-6 с.

10) Задача на электромагнитную индукцию.

Катушка сопротивлением 100 Ом, состоящая из 1000 витков, внесена в однородное магнитное поле, так что линии магнитной индукции параллельны оси катушки. Площадь поперечного сечения катушки равна 5 см². В течение некоторого времени индукция магнитного поля уменьшилась с 0,09 до 0,04 Тл. Какой заряд индуцирован в проводнике за это время?

Запишем краткое условие задачи.

Решение:

При изменении магнитного потока, пронизывающего катушку в ней возникает индукционный ток силой, по закону Ома равный:

Д ано: СИ

R=100 Ом

N=1000

S=5см² =5·10^-4м²

B₁=0,09Тл

B₂=0,04Тл

q-?

, где - ЭДС индукции. По определению сила тока, где- время протекания заряда через поперечное сечение провода.

Приравниваем: . Отсюда.

По закону Фарадея ЭДС индукции, возникающая в катушке содержащей N витков: ,

где ,.

Угол α между нормалью к плоскости контура и линией магнитной индукции по условию задачи равен нулю, поэтому .

С учетом этого .

Проведем проверку размерности:

Произведем вычисления: .

Ответ: 2,5·10^-4 Кл

11) Задача на идеальный колебательный контур.

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С=5 мкФ и катушки индуктивности L = 0,2 Гн. Определить максимальную силу тока I₀ в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора U₀ = 90 В. Активным сопротивлением проводов в контуре пренебречь.

Запишем краткое условие задачи.

Решение:

Воспользуемся законом сохранения энергии для идеального колебательного контура:

Д ано: СИ

L=0,2 Гн

С=5 мкФ =5·10^-6Ф

U₀= 90В

I₀ -?

Полная энергия контура равна энергии конденсатора при максимальном значении U: .

Сила тока достигает максимального значения в момент разрядки конденсатора, при этом .

Следовательно, .

Откуда: .

Произведем вычисления: .

Ответ: 0,45 А

12) Задача на формулу Томсона.

В колебательный контур включен конденсатор емкостью С=0,2 мкФ. Какую индуктивность L нужно включить в контур, чтобы получить в нам электромагнитные колебания частоты υ = 400Гц?

Запишем краткое условие задачи.

Решение:

Воспользуемся формулой Томсона: .

Циклическая частота равна

ω = 2πυ

Д ано: СИ

С=0,2 мкФ =0,2·10^-6Ф

υ= 400Гц

L -?

Следовательно, .

Откуда

Произведем вычисления: .

Ответ: 0,79 Гн.

13) Задача на закон преломления.

На стеклянную пластинку, показатель преломления которой 1,5 падает луч света. Найти угол падения, если угол между отраженным и преломленным лучами 90⁰.

Запишем краткое условие задачи.

Д

Решение:

ано:

n₂₁ = 1,5

φ

α

= 90⁰

α =?

γ

Из рисунка видно, что β + φ + γ = 180⁰. Следовательно, β = 180⁰ – 90⁰ – γ = 90⁰ – γ.

По закону отражения света α = β = 90⁰ – γ.

Или γ = 90⁰ – α

С другой стороны, по закону преломления света

.

Таким образом, .

Тогда

Ответ: 0,98 рад.

14). Задача на явление полного внутреннего отражения.

Луч света выходит из скипидара в воздух. Предельный угол падения для этого луча 42⁰23'. Определить скорость распространения света в скипидаре.

Запишем краткое условие задачи.

Д

Решение:

Показатели преломления скипидара n₁ и воздуха n₂связаны со скоростямираспространения света

ано:

α_пр = 42⁰23'

с = 3∙10⁸ м/с

V_ск=?

в этих средах соотношением:

.

Предельный угол падения находится из условия

.

Следовательно,

,

а искомая скорость .

Ответ: 2,02∙10⁸ м/с.

15) Задача на формулу линзы.

Собирающая линза дает действительное увеличенное в два раза изображение предмета. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением предмета 24 см.

Запишем краткое условие задачи.

Д

СИ

0,24 м

Решение:

Для нахождения фокусного расстояния воспользуемся формулой линзы:

ано:

k = 2

f = 24 см

F=?

.

Выразим из нее F:

.

Так как линейное увеличение линзы

, то .

Подставив полученное значение d в формулу для F, получим:

.

Проведем вычисления:

Ответ: 0,08 м.

16) Задача на интерференцию света.

В некоторую точку пространства приходят две когерентные волны с оптической разностью хода1,8 мкм. Определить, усилится или ослабится свет в этой точке, если длина волны 600 нм.

З

Решение:

В точке наблюдения свет усилится, если оптическая разностьхода равна целому числу длин волн.

апишем краткое условие задачи.

СИ

6∙10^-7 м

1,8∙10^-6 м

Дано:

λ = 600 нм

Δ = 1,8 мкм

Проверим это:

.

Следовательно, в точке наблюдения свет усилится.

Ответ: интерференционный максимум.

17) Задача на дифракционную решетку.

Найти наибольший порядок спектра для желтой линии натрия с длиной волны 5890 А⁰, если период дифракционной решетки 2 мкм.

З

Решение:

Запишем формулу для дифракционной решетки:

d·sinα = m·λ

апишем краткое условие задачи.

СИ

5,89∙10^-7 м

2∙10^-6 м

Дано:

λ = 5890 А⁰

d = 2 мкм

m-?

Выразим , порядок спектраm принимает наибольшее значение при максимальном значении sinα = 1, но так как порядок спектра – это целое число, то нужно найти целую часть дроби .

Проведем вычисления:

Следовательно, m = 3

Ответ: 3

18) Задача на фотоэффект.

Определить наибольшую скорость электрона, вылетевшего из пластинки цезия, при освещении ее светом с длиной волны 400 нм.

Запишем краткое условие задачи.

Решение:

Для решения задачи запишем формулу Эйнштейна дляфотоэффекта.

СИ

4∙10^-7 м

Дано:

λ₀ = 400 нм

V_max=?

Работу выхода для цезия найдем по справочнику А_вых = 3,2 ·10^-19 Дж.

Из формулы Эйнштейна выразим искомую скорость:

.

Проведем вычисления:

Ответ: 6,2 ·10^-5 м/с.

19) Задача на тепловое излучение.

Максимум энергии излучения черного тела при некоторой температуре приходится на длину волны λ_m = 1 мкм. Вычислить испускательную способность тела при этой температуре и энергию W, излучаемую с площади S = 300 см² поверхности тела за время t = 1 мин. Определить также массу, соответствующую этой энергии.

Запишем краткое условие задачи.

Дано: СИ Решение

Интегральная лучеиспускательная способность абсолютно черного тела определяется из закона Стефана-Больцмана:

R₀ = σT⁴, (1)

где σ – постоянная Стефана-Больцмана; σ = 5,67∙10^-8 Вт/(м²∙К⁴); T – термодинамическая температура тела. Из закона смещения Вина λ_m =b/T

определим термодинамическую температуру:

T = b/ λ_m, (2)

где λ_m – длина волны, на которую приходится максимум излучения при температуре Т; b – постоянная Вина; b = 2,89∙10^-3 м∙К.

Подставив выражение для Т из (2) в (1), получим:

R₀ = σ(b/ λ_m)⁴. (3)

Энергию, излучаемую с площади S поверхности тела за время t, определим по формуле:

W = R₀St . (4)

По закону Эйнштейна взаимосвязи энергии и массы

W = mc²,

(с – скорость света в вакууме; с = 3∙10⁸ м/с; W – энергия) найдем массу, соответствующую энергии излучения:

m = W/c². (5)

Проведем проверку размерности:

.

Произведем вычисления:

;

Ответ: R₀ = ;W= ;m = .

20) Задача по атомной физике.

Определить энергию фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с третьего энергетического уровня на первый, а также длину электромагнитной волны, соответствующую этому фотону.

Запишем краткое условие задачи.

Дано: Решение:

П

E - ? λ - ?

ереход электрона в атоме водорода с отдаленной орбиты на внутреннюю связан с излучением фотона (кванта энергии):

W = hν = hc/λ,

где W – энергия фотона; h – постоянная Планка; h = 6,625∙10^-34 Дж∙с; с – скорость света в вакууме, ν, λ – частота и длина волны, соответствующие фотону с энергией W.

Длина волны излучаемого света определяется по формуле Бальмера-Ридберга:

,

где R – постоянная Ридберга; R = 1,10∙10⁷ м^-1; n – номер энергетического уровня, на который переходит электрон; k - номер энергетического уровня, с которого уходит электрон.

Произведем вычисления:

,

.

Ответ: λ = 102 нм; W = 12,2 эВ.

21) Задача по ядерной физике.

Определить дефект массы Δm, энергию связи W_св и удельную энергию связи ядра атома бора .

Решение:

Дефект массы ядра представляет собой разность массы нуклонов (протонов и нейтронов), составляющих ядро, и массы ядра и определяется по формуле:

Δm = Zm_p + (A – Z)m_n – m_я, (1)

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре); m_p – масса протона; А – массовое число (общее число нуклонов в ядре); (A – Z) – число нейтронов в ядре; m_n – масса нейтрона; m_я – масса ядра.

Числа Z и А указываются при написании символа элемента: Z – слева внизу; А – слева вверху; в данном случае для бора Z = 5, А = 10. Массу ядра найдем по формуле

m_я = m_а – Z∙m_e, (2)

где m_а – масса нейтрального атома; m_e – масса электрона.

Чтобы не вычислять каждый раз массу ядра, преобразуем формулу (1) с учетом (2):

Δm = Zm_p + (A – Z)m_n – m_а (3)

Из таблицы данных выпишем: m_p = 1,00783 а.е.м., m_n = 1,00867 а.е.м., m_а = 10,01294 а.е.м..

Подставим числовые значения величин, входящих в (3), и вычислим дефект массы ядра бора:

Δm=5∙1,00783 а.е.м. + (10-5)∙1,00867 а.е.м. − 10,01294 а.е.м. = 0,06956 а.е.м.

Энергия связи ядра – энергия, выделяющаяся при образовании ядра в виде электромагнитного излучения, определяется по формуле:

W_св = Δmс², (4)

где с – скорость света в вакууме, с = 3∙10⁸ м/с.

Если энергию связи выразить в мегаэлектрон-вольтах, дефект массы Δm ядра – в атомных единицах массы, то формула (4) примет вид:

W_св = 931∙ Δm, (5)

где 931 – коэффициент, показывающий, какая энергия в мегаэлектрон-вольтах соответствует массе 1 а.е.м.. Подставив значение Δm в (5), вычислим энергию связи:

W_св = 931∙ 0,06956 (МэВ) = 64,8 (МэВ).

Удельная энергия связи – это энергия связи, приходящаяся на 1 нуклон в ядре, она равна: .

Произведем вычисления:

Ответ: Δm = 0,06956 а.е.м.; W_св = 64,8 МэВ; .