Теория систем и системный анализ / Охорзин_Оптимизация экономических систем

Пусть производитель товара определяет объем предлагаемого товара на основе спроса и цен, установившихся в предшествующем периоде:

Схема решения этого уравнения проста: через объем go в начальный период определяем/?о = ^о^Чбо)- Объем производства товара в следующий период определится спросом Qi = S\(po), и так далее. Если кривые спроса и предложения не меняются, то колебания цен будут определяться только начальным отклонением цены от равновесной. Динамику цен и объемов производства в этом случае иллюстрирует документ Mathcad на рис. 6.1.

Модель Калдора. Рассмотрим вопрос об устойчивости ре­ шения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) на примере модели Калдора, пытающейся объяснить циклические ко­ лебания экономической активности факторами формирования сбе­ режений S(y) и инвестиций 1(у), у ~ доход. В этой модели объемы сбережений и инвестиций являются не линейными, а логистически­ ми (^-образными) функциями. Пример таких функций приведен в документе Mathcad на рис. 6.2.

Равновесие достигается при такой величине дохода у, когда S(y) = 1(у), Таких точек три, однако устойчивых только две: у\ и J35 так как именно в них производная функции f(y) ~ 1(у) —

— S(y) отрицательна. Изменение дохода в такой системе можно представить в виде дифференциального уравнения

С начальным условием у(0) ~у^. Если величина дохода соответ­ ствует одному из равновесных состояний, он может сохраняться неограниченно долго. Однако любые изменения в экономической ситуации приведут при неустойчивом равновесии (в точке уг) к переходу в одну из устойчивых точек у\ или у-^ в зависимости от ухода влево или вправо от положения равновесия. Для устойчивых точек при малых отклонениях от положения равновесия произой­ дет возврат к этому же состоянию. Однако это справедливо при

100

Рис. 6.1. П^тинообразная модель

101

Рис. 6.2. Модель Калдора

постоянных функциях инвестиций и сбережений. Периодические изменения деловой активности приведут к деформации этих функ­ ций, что и объясняет циклический характер развития экономики. Документ Mathcad на рис. 6.3 иллюстрирует эти случаи.

Модель Самуэльсона - Хикса. В этой модели представлены два субъекта хозяйствования: домашние хозяйства и фирмы. Объем потребления в текущем периоде определяется величиной дохода предыдущего периода:

102

Рис. 6.3. Устойчивые точки равновесия

Объем инвестиций зависит от прироста дохода предшествую­ щего периода:

Если обозначить через Bt внешние инвестиции, получим раз­ ностное уравнение этой модели:

Непрерывный аналог этой модели представлен следующим дифференциальным уравнением второго порядка:

с начальными условиями д^(0) = 50= j^o, У(0) = у\ — 7о-

103

в матричном виде эту систему можно записать так:

UJ v« pJUJ^•в О'

В документе Mathcad на рис. 6.4 дано сравнение решений дискретной и непрерывной модели с постоянным значением В,

Стационарная точка модели определяется из (6.12) при равен­ стве производных нулю:

В

устойчивость этой точки - собственными числами X матрицы А, Если действительные части собственных чисел отрицательны, си­ стема устойчива. Отметим, что в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения в системе присутствует колебательное движение. Так, в данном примере система колеба­ тельная и устойчивая. На графике приведено разбиение области изменения параметров задачи на области монотонного (выше и сле­ ва от разделяющей область кривой) и колебательного движений.

6.3.

Динамика несвязанвоьк секторов экономики

Для примера рассмотрим динамику несвязанной трехсекторной эко­ номики - производство средств производства с производственной функцией Yi = F\{Ki,Li% производство предметов потребления с ПФ 72 = FiiKi^Li) и «производство» культурных ценностей с ПФ Уз = ^з(^з»А)- Здесь yj, АГ„ Ц - объемы производства, затраты капитала и труда соответственно в каждом секторе. Если через а, обозначить долю произведенного продукта, идущего на накопление капитала, через Р, - долю выбытия капитала в каждом из секторов, то для изменения капитала во времени имеем следующую систему

104

yj+2^=Cyyj+,^ci(y.^,-yj)+B Непрерывная модель

\^-1 + Су -2+Ci+Cy;

<о> Уо

?->,,р.(«1 <i>

Сравнение дискретной и непрерывной модели

Рис. 6.4. Области монотонного и колебательного движений

105

дифференциальных уравнений:

^ DKi dt

РКгdt = а2Г2(^2,12)-р2^2; (6.14)

РКг dt

Пусть первоначальный капитал, вложенный в эти сектора, со­ ставляет Ki(0) = Kf, вложения в труд постоянны: L,(0 = L/. Реше­ ние дифференциального уравнения покажет изменение капитала, следовательно, и производства во времени. Эти изменения иллю­ стрирует документ Mathcad на рис. 6.5.

Из приведенных графиков видно, что с течением времени капи­ тал и остальные показатели стабилизируются. Стационарная точка определится как решение системы алгебраических уравнений, при­ чем эта точка не зависит от начальных условий ~ первоначального вложения капитала:

[о = азГз№,А)-РзА:з.

Посколы^ эти уравнения не связаны, их можно решать каждое в отдельности. Решение для одного из уравнений (первого) при­ ведено в документе Mathcad на рис. 6.6. Устойчивость этой точки можно определить по знаку производной. Так как производная от­ рицательна, стационарная точка устойчива.

6.4.

Динамика связанных секторов экономики

Рассмотрим модель трехсекторной экономики, охватывающей про­ изводство средств производства, производство предметов потреб­ ления и производство культурных ценностей с производственными

106

aij - матрица коэффициентов инвестиций дохода сектора / в капитал секторау, Р, - доля выбытия капитала из соответствующего сектора.

107

Рис. 6.6. Определение стационарной точки и устойчивости

Тогда динамику экономики можно описать векторным дифферен­ циальным уравнением

где K,Y,L- векторные функции соответствующей размерности, в дан­ ном случае 3.

Это уравнение должно быть дополнено начальными условия­ ми - распределением капитала в начальный момент времени К{0) = = К^, Если трудозатраты считаются постоянными, то ]^L = L^.

Рассмотрим конкретный пример развития экономики для мат­ рицы инвестиций

Такая матрица означает, что капитальные вложения в первый сектор составляют 10% его дохода, во второй - равны 10% до­ хода первого сектора и 20% дохода второго, в третий сектор - 10% дохода второго сектора экономики. Задавая конкретный вид производственных функций, доли выбытия капитала и начальные условия, получим развитие экономики, представленное в документе Mathcad на рис. 6.7.

108

ih

109