ДМ ПРАКТИКА-3 Формулы включений и исключений

Практическое занятие.

Формулы включений и исключений.

Пусть множество имеет элементов, каждый из которых может обладать или не обладать любым из свойств. Наличие у элемента какого-либо свойства обозначают , его отсутствие - , число элементов, обладающих выбранными свойствами обозначают . Например, запись означает число элементов, обладающих свойствами и , и не обладающих .

Число элементов, не обладающих ни одним из свойств , несовместимых друг с другом:

Число элементов, не обладающих ни одним из свойств , совместимых друг с другом:

В левой части формулы может стоять не только , но и, например, при . Тогда формула записывается относительно совокупности свойств и с обязательным выполнением свойств и следующим образом:

.

Задача 1. При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60% студентов читает журнал А, 50% - журнал В, 50% - журнал С, 30% - журналы А и В, 20% - журналы В и С, 40% - журналы А и С, 10% - журналы А,В и С. Сколько процентов студентов

1. не читает ни один из журналов;

2. читает в точности два журнала;

3. читает не менее двух журналов?

Ответ: 1) 20%; 2) 60%; 3) 70%.

Задача 2. На одной из кафедр университета работают тринадцать человек, причём каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро - немецкий, шестеро - французский. Пятеро знают английский и немецкий, четверо - английский и французский, трое - немецкий и французский.

1. Сколько человек знают все три языка?

2. Сколько человек знают ровно два языка?

3. Сколько человек знают только английский язык?

Ответ: 1) 2 человека; 2) 6 человек; 3) 3 человека.

Задача 3. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают английский язык, 40 - французский и 35 - немецкий. Английский и французский языки знают 20 студентов, английский и немецкий - 8, французский и немецкий - 10. Все три языка знают 5 человек.

1. Сколько человек знают только английский язык?

2. Сколько человек знают только французский язык?

3. Сколько человек знают только немецкий язык?

4. Сколько человек знают только или французский или английский язык?

5. Сколько человек не знают ни одного языка?

Задача 4. Статистика, собранная среди студентов одного из вузов, обнаружила следующие факты: 60% всех студентов занимаются спортом, 30% участвуют в художественной самодеятельности, 50% работают в стройотряде, 20% занимаются спортом и участвуют в художественной самодеятельности, 10% занимаются спортом и работают в стройотряде, 5 % участвуют в самодеятельности и работают в стройотряде, наконец, 5% участвуют во всех трёх видах деятельности. Сколько процентов студентов:

1. занимается по крайней мере одним из двух видов деятельности: занимается спортом или участвует в художественной самодеятельности?

2. занимается одним только спортом?

3. занимается только одним видом деятельности?

4. занимается только двумя видами деятельности?