Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка Зайцева

.pdf
Скачиваний:
156
Добавлен:
17.04.2015
Размер:
537.16 Кб
Скачать

2.8. Задача для нахождения максимального значения целевой функции графически и симплекс-методом

Найти максимальное значение целевой функции (графически и симплекс-методом). Исходные данные предложены в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Вариант

a1

k1

a2

k2

b1

b2

0

2

3

1

2

2

1

1

1

3

2

5

2

3

2

2

4

3

6

3

4

3

3

5

4

7

4

5

4

4

6

5

8

5

6

5

5

7

6

9

6

7

6

1

2

3

5

5

2

7

2

3

4

6

6

3

8

3

4

5

7

7

4

9

4

5

6

8

8

5

10

5

6

7

9

9

6

11

2

7

1

4

2

1

12

3

8

2

5

3

2

13

4

9

3

6

4

3

14

5

10

4

7

5

4

15

6

11

5

8

6

5

16

2

4

1

4

2

2

17

3

5

2

5

3

3

18

4

6

3

6

4

4

19

5

7

4

7

5

5

20

6

8

5

8

6

6

21

1

3

4

6

4

1

22

2

4

5

7

5

2

23

3

5

6

8

6

3

24

4

6

7

9

7

4

25

5

7

8

10

8

5

26

3

7

2

6

2

2

27

4

8

3

7

3

3

28

5

9

4

8

4

4

29

6

10

5

9

5

5

30

7

11

6

10

6

6

31

1,5

3,5

2,5

5,5

2,5

3,5

32

2,5

4,5

3,5

6,5

3,5

4,5

33

3,5

5,5

4,5

7,5

4,5

5,5

34

4,5

6,5

5,5

8,5

5,5

6,5

35

5,5

7,5

6,5

9,5

6,5

7,5

36

3,5

4,5

1,5

2,5

4,5

1,5

37

4,5

5,5

2,5

3,5

5,5

2,5

38

5,5

6,5

3,5

4,5

6,5

3,5

39

6,5

7,5

4,5

5,5

7,5

4,5

40

7,5

8,5

5,5

6,5

8,5

5,5

1) Область допустимых значений

x2

k2

a2

0

a1

k1

x1

Целевая функция

f = b1x1 + b2x2 max

2) Область допустимых значений

x2

k2

a2

0

a1

k1 x1

 

33

ЗАДАНИЕ № 3

МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

3.1.Задание для предложенного варианта

3.1.1.Построить конусы возможных направлений в угловых точках допустимого множества задачи ЛП (задание № 2.1).

3.1.2.Построить конусы, сопряженные к конусам возможных направлений в угловых точках допустимого множества задачи ЛП.

3.1.3.Проверить условия оптимальности Куна – Таккера в угловых точках допустимого множества задачи ЛП. Показать, что эти условия выполняются только в оптимальной точке.

3.1.4.Найти точку безусловного экстремума (минимума) для заданной в табл. 3.1 целевой функции и начальной точки:

методом наискорейшего спуска;

методом Ньютона.

Для каждого из методов проделать пять итерационных шагов и оценить точность полученного решения. Для метода наискорейшего спуска сделать их с помощью одного из методов одномерной оптимизации (метод Фибоначчи, метод золотого сечения, метод квадратичной аппроксимации). Проделать не менее пяти шагов одномерной минимизации. Результаты вычислений оформить в виде таблицы, в которой необходимо отразить номер итерационного шага, значение целевой функции на данном шаге, решение на данном шаге.

3.1.5. Найти решение задачи выпуклого программирования одним из методов: методом возможных направлений; методом Нелдора – Мида. Проделать не менее пяти итерационных шагов. Оценить точность полученного решения. В качестве допустимых точек взять множество допустимых точек задачи ЛП (задание № 2), в качестве целевой функции и начальной точки взять соответствующие варианту значения из табл. 3.1. Результаты решения оформить в виде таблицы.

3.2. Методические указания к выполнению задания № 3

Будем придерживаться следующего варианта записи общей задачи нелинейного программирования:

ϕ(x)min;

x X

34

X = {x : fi (x) ≥ 0,i =1,...,m}.

(3.1)

Если рассматривается задача на максимум и в ограничениях знак неравенства обратный, то к (3.1) несложно перейти, умножив соответствующие соотношения на –1.

Условия оптимальности Куна – Таккера имеют множество различных вариантов. Для наших целей наиболее приемлема дифференциальная форма, поскольку она имеет четкую геометрическую интерпретацию, которая заключается в следующем: если некоторая точка является решением задачи выпуклого программирования, то для этой точки конус, сопряженный к конусу возможных направлений, содержит антиградиент целевой функции. Следует убедиться в том, что предложенная задача нелинейного программирования – задача выпуклого программирования. Условия Куна – Таккера в различных вариантах описаны в работах [1–4].

Для выполнения задания пунктов 3.1.4, 3.1.5 можно воспользоваться рекомендуемой литературой [1,4].

3.3.Вопросы для самоконтроля

3.3.1.Какие дополнительные условия необходимы для того, чтобы общая задача нелинейного программирования (3.1) была задачей выпуклого программирования?

3.3.2.Сформулируйте условия Куна – Таккера в дифференциальной форме. Какое значение в данном контексте имеют условия Слейтера [1,4]?

3.3.3.Сформулируйте условия Куна – Таккера в интегральной форме (необходимые и достаточные условия существования седловой точки).

3.3.4.В чем состоит основная идея применения теоремы Куна – Таккера для решения задачи нелинейного программирования?

3.3.5.Как используются методы одномерной оптимизации для решения задач нелинейного программирования?

3.3.6.Укажите характерные особенности методов нулевого, первого и второго порядков (поисковые методы, методы типа метода Ньютона).

3.3.7.В чем состоит геометрическая идея метода Вулфа и метода возможных (допустимых) направлений Зонтендейка?

3.3.8.Сформулируйте задачу квадратичного программирования.

35

3.4. Варианты задания

 

 

 

Таблица 3.1

 

 

 

 

Номер

Целевая функция, ϕ(x)

Нач. точка

Безусловный

варианта

x(0)

минимум x

 

1

(x1 8)2 + (x2 15)2 + (x1 8)(x2 15)

(0,7)

(8,15)

2

(x1 10)2 + (x2 15)2 + (x1 10)(x2 15)

(4,5)

(10,15)

3

(x1 6)2 + (x2 7)2 + (x1 6)(x2 7)

(0,1)

(6,7)

4

(x1 6)2 + (x2 6)2 + (x1 6)(x2 6)

(1,2)

(6,0)

5

(x1 12)2 + (x2 10)2 + (x1 12)(x2 10)

(2,6)

(12,10)

6

(x1 7)2 + (x2 7)2 + (x1 7)(x2 7)

(6,1)

(7,7)

7

(x1 13)2 + (x2 16)2 + (x1 13)(x2 16)

(7,7)

(13,16)

8

(x1 13)2 + (x2 11)2 + (x1 13)(x2 11)

(0,6)

(13,11)

9

(x1 7)2 + (x2 9)2 + (x1 7)(x2 9)

(3,5)

(7,9)

10

(x1 8)2 + (x2 10)2 + (x1 8)(x2 10)

(2,3)

(8,10)

11

(x1 8)2 + (x2 8)2 + (x1 8)(x2 8)

(6,1)

(8,8)

12

(x1 11)2 + (x2 10)2 + (x1 11)(x2 10)

(11,0)

(11,10)

13

(x1 10)2 + (x2 5)2 + (x1 10)(x2 5)

(0,5)

(10,5)

14

(x1 13)2 + (x2 9)2 + (x1 13)(x2 9)

(13,0)

(13,9)

15

(x1 9)2 + (x2 9)2 + (x1 9)(x2 9)

(9,0)

(9,9)

16

(x1 12)2 + (x2 8)2 + (x1 12)(x2 8)

(4,4)

(12,8)

17

(x1 10)2 + (x2 8)2 + (x1 10)(x2 8)

(3,3)

(10,8)

18

(x1 10)2 + (x2 12)2 + (x1 10)(x2 12)

(2,5)

(10,12)

19

(x1 10)2 + (x2 7)2 + (x1 10)(x2 7)

(5,5)

(10,7)

20

(x1 7)2 + (x2 6)2 + (x1 7)(x2 6)

(1,1)

(7,6)

21

(x1 8)2 + (x2 9)2 + (x1 8)(x2 9)

(4,3)

(8,9)

22

(x1 9)2 + (x2 10)2 + (x1 9)(x2 10)

(3,4)

(9,10)

23

(x1 10)2 + (x2 10)2 + (x1 10)(x2 10)

(2,2)

(10,10)

24

(x1 10)2 + (x2 11)2 + (x1 10)(x2 11)

(8,0)

(10,11)

3.5. ЗНЛП с дополнительными условиями

Решить графически задачу нелинейного программирования. Используя условия Куна – Таккера, проверить, является ли данная точка оптимальной. Исходные данные (согласно вариантам) даны ниже.

36

f = (x1 5)2 + (x2 1)2 min

 

x1

 

2x2 ≤ −2

 

 

 

1.

7x

x

2

 

13

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3x2 21

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

x

 

0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x

+ 2)2 + (x

2

7)2 min

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

2x

 

6

 

 

 

3.

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

x1

 

+ x2 11

 

 

 

 

 

 

 

2x2 4

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

x

 

0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x

8)2 + (x

2

4)2 min

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2x

 

 

≥ −12

 

 

 

5.

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x1

 

+ x2 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x1 5x2 ≤ −10

 

 

 

 

x

 

0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

f = (x1 10)2 + (x2 2)2 min

 

x

4x

 

≤ −4

2.

 

1

 

2

 

 

x1

+ x2 11

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x2

3

 

x

0;x

2

0

 

 

1

 

 

 

f = (x1 6)2 + (x2 5)2 min

 

3x 2x

 

≥ −2

4.

 

1

 

2

 

x1

+ 3x 11

 

 

 

 

 

 

 

4x1 + x2

37

 

x

0;x

2

0

 

1

 

 

f = (x1 +1)2 + (x2 2)2 min

 

3x 2x

 

9

6.

 

1

 

2

 

x2

6

 

 

 

 

 

 

 

10

 

2x1 + x2

 

x

0;x

2

0

 

1

 

 

 

f

= (x

10)2 + (x

2

+ 7)2

min

f

= (x

1)2 + (x

+1)2

min

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

x + 3x

 

22

 

 

 

 

3x x

 

7

 

 

 

7.

 

1

 

2

 

 

 

 

 

8.

 

1

 

2

 

 

 

 

 

x1 2

 

 

 

 

 

 

 

2x1 + 3x2 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x2

9

 

 

 

 

x1 3x2

≤ −3

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x

+ 2)2 + (x

2

+1)2 min

f

= (x

9)2 + (x

2

4)2

min

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x1 + 3x2 5

 

 

 

 

4x1 + 7x2 49

 

 

 

9.

5x + 3x 40

 

 

 

10.

2x + x

2

12

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2 1

 

 

 

 

x1 2x2

4

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

37

f = (x1 5)2 + (x2 +1)2 min

 

x1

x2 ≥ −2

11.

3x

 

+ x

2

10

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3x2

0

 

x1

 

 

x

 

0;x

2

0

 

 

1

 

 

 

 

 

f = (x1 6)2 + (x2 6)2 min

 

4x

x

 

7

13.

 

1

 

2

 

 

x1

+ x2 8

 

 

4x2

≤ −2

 

x1

 

x

0;x

2

0

 

1

 

 

 

 

f = (x1 1)2 + (x2 6)2 min

x1 x2 ≥ −3

15.x2 2

2x1 x2 12

 

x

0;x

2

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x

7)2 + (x

2

1)2 min

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

5x + x

 

≥ −4

 

 

17.

 

 

1

 

2

 

 

 

 

x1 + x2 ≥ −4

 

 

 

 

 

+ 4x2 24

 

 

 

x1

 

 

 

x

0;x

2

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x

+ 2)2 + (x

2

7)2 min

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3x1 + 2x2 ≤ −6

 

19.

 

 

+ x2 11

 

 

x1

 

 

 

 

 

2x2 4

 

 

 

x1

 

 

 

x

0;x

2

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

f = (x1 +1)2 + (x2 3)2 min

 

2x

5x

 

≥ −8

 

 

 

12.

 

1

 

2

 

 

 

 

 

2x1 + x2 4

 

 

 

 

 

 

x2 8

 

 

 

 

2x1

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x 9)

2 + (x

2

1)2

min

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3x + x

 

26

 

 

 

14.

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

x1

2x2 4

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x1 x2 ≥ −2

 

 

 

 

 

x

0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

f= x12 + x22 min

16.11x1 3x2 24

− ≤

9x1 110x1 4x20;x2 0

 

f

= (x

6)2 + (x

2

+1)2 min

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

4x1 + 5x2 29

 

18.

3x

 

x

2

 

14

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x1 + 2x2 38

 

 

 

 

x

0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x

 

7)2 + x

 

2

min

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

3x 2x 6

 

 

 

20.

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x1

+ x2 11

 

 

 

 

 

 

2x2 4

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

x

0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

f = x21 + x22 min

 

x1

+ 3x2 5

21.

5x

 

+ 3x

40

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx + x2

≤ −1

 

x

 

0;x

2

0

 

 

1

 

 

 

 

 

f = (x 1)2 + (x 5)2

min

 

 

1

 

 

2

 

 

3x1 + 2x2 2

 

22.

 

+ 3x2

 

11

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x1 + x2

37

 

 

x

0;x

2

0

 

 

1

 

 

 

 

f

= (x

5)2 + x

2

min

 

f

= (x

 

5)2 + (x

 

3)2

min

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3x x

 

7

 

 

 

 

3x 2x 6

 

 

 

 

 

23.

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2x1 + 3x2 27

 

 

24. x1 + x2 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 + 3x2 3

 

 

 

 

x1 2x2 4

 

 

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x

1)2 + x

 

2

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

f = (x

+ 2)

2 + (x

 

 

1)2

min

 

x

+ 3x

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

2

 

2

 

 

 

 

 

 

xx + x2 3

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

5x + x3x

 

97

 

 

 

 

 

25.

1

 

 

 

 

 

 

 

26.

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x2 9

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

x1

+ 7x2 77

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0;x

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x

9)2 + (x

1)2

f

= x21 + x

 

2

min

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3x x

 

9

 

 

 

x + 4x 53

 

 

 

 

 

27.

 

 

1

 

2

 

 

 

 

28.

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 + 3x2 50

 

 

x1 x2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3x2 71

 

 

 

 

 

 

xx + 4x2 19

 

 

7x1

 

 

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

x 0;x

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = (x1 1)2 + (x2 1)2 min

 

6x 5x

 

17

29.

 

1

 

2

 

x1

+ 2x2 34

 

 

 

 

 

 

 

4x1 + 9x2 17

 

x

0;x

2

0

 

1

 

 

f = (x1 1)2 + (x2 7)2 min3x1 +14x2 78

30.5x1 6x2 26x1 + 4x2 26x 0;x2 0

39

 

f

= (x

5) + (x

2

1)2 min

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

2x2 ≤ −2

 

 

 

31.

7x

x

2

 

13

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3x2 21

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

x

 

0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x

+ 2)2 + (x

2

7)2 min

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

2x

 

6

 

 

 

33.

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

x1

 

+ x2 11

 

 

 

 

 

 

 

2x2 4

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

x

 

0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x

8)2 + (x

2

4)2 min

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2x

 

 

≥ −12

 

 

 

35.

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x1

 

+ x2 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x1 5x2 ≤ −10

 

 

 

 

x

 

0;x

2

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

f = (x1 10)2 + (x2 2)2 min

x1 4x2 ≤ −4

32.x1 + x2 112x1 x2 3

x1 0;x2 0

f = (x1 6)2 + (x2 5)2 min

 

3x

 

2x

2

≥ −2

34.

 

1

 

 

 

 

x

+ 3x

 

 

11

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

4x1 + x2 37

 

x

0;x

2

0

 

 

1

 

 

 

 

f = (x1 +1)2 + (x2 2)2 min

12x2 9

36.x2 6

2x1 + x2 10x1 0;x2 03x

 

f

= (x

10)2 + (x

2

7)2

min

 

f = (x 1)2 + (x

2

+1)2

min

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 3x

 

22

 

 

 

 

 

3x x

 

7

 

 

 

 

37.

 

1

 

2

 

 

 

 

 

38.

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x2 2

 

 

 

 

 

 

 

2x1 + 3x2 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2 ≤ −3

 

 

 

 

 

2x1 x2

9

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

= (x

+ 2)2 + (x

2

+1)2 min

f

= (x 9)2 + (x

2

4)2 min

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 + 3x2 5

 

 

 

 

4x1 + 7x2 49

 

 

 

 

39.

5x + 3x 10

 

 

 

40.

2x

+ x

2

12

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2 1

 

 

 

 

x1 2x2

 

4

 

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

x 0;x

2

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

40

3.6. ЗНЛП для решения графическим методом

Сформулировать и решить графически задачу нелинейного программирования. Причем f (x) min. (Варианты даны ниже).

 

2x + 5y 30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)(y +1) 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ y

2

36

 

2x + y 14

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

x 0; y 0 3.

x 0; y 0

 

x ; y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = x + y

 

 

 

 

f = (x 4)2 + (y 8)2

 

f = 2x + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 5)2

+ (y 3)2 9

 

 

0 x 3

 

y

 

x 4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (y 3)2 36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x 6

 

(x 5)2

 

5x + 3y 24

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y 8;x 0; y 0

 

 

y

 

 

 

 

y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = x2 + y2

 

 

f = x + y

 

f = x + 3y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

2x + 5y 30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

+ y 14

 

 

 

 

 

 

 

2

+ y

2

36

7.

3x + 5y

2x

 

 

 

9.

x

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0; y 0

 

y 0

 

 

 

 

 

x 0; y 0

 

 

 

 

 

 

f

= −x + 2y

 

f =

 

x 5

 

+ y

f =

(x 2)2 + (y 4)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 5)2

+ (y 3)2 9

 

 

 

 

 

(x 2)(y +1) 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 5)2

+ (y 3)2 36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. x 0; y 0

 

 

11.

x + y 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = (x

1)

2

+ (y 1)

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0; y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

= x + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x 3

 

 

 

 

 

 

y

 

x 4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x + 3y 24

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = (x 4)2 + (y 4)2

 

 

f = (x 7)2 + (y 7)2

 

 

 

 

41

x 3

+ ≤

3x 5y 24

y 0

f = (x 3)2 + 4(y 6)2

x2 + y2 36 16. x 0; y 0

f = (x 3)2 + (y 2)2

(x 5)2 + (y 3)2 9

(x 5)2 + (y 3)2 36

18. x + y 8

x 0; y 0

f= x2 + y2

y x 4 3

2 x 6

y 0

f = (x 4)2 + (y 2)2

2x + 5y 30

+ ≤

2x y 14

x 0; y 0

f = (x 6)2 + (y 2)2

2x + 5y 30

+ ≤

2x y 14

x 0; y 0

f = (x 7)2 + (y 7)2

(x 2)(y +1) 16

17. ≥ ≥

x 0; y 0

f = (x 4)2 + (y 3)2

0 x 3

+ ≤

5x 3y 24

y 0

f = (x 3)2 + 4(y 6)2

x 3

+ ≤

3x 5y 24

y 0

f = (x 4)2 + (y 4)2

x2 + y2 36 23. x 0; y 0

f = (x 4 )2 + (y 6)2

 

 

 

(x 5)2

+ (y 3)2

9

0 x 3

 

(x 2)(y +1) 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ (y 3)

2

36

 

 

 

 

(x 5)

 

 

5x + 3y 24

24.

x 0; y 0

25.

x + y 8

 

26.

 

 

f = −x + 3y

 

 

 

 

 

 

 

y 0

 

 

x 0; y

0

 

 

f =

 

x 5

 

+ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42