
Методичка Зайцева
.pdf
2.8. Задача для нахождения максимального значения целевой функции графически и симплекс-методом
Найти максимальное значение целевой функции (графически и симплекс-методом). Исходные данные предложены в табл. 2.5.
Таблица 2.5
Вариант |
a1 |
k1 |
a2 |
k2 |
b1 |
b2 |
0 |
2 |
3 |
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
5 |
2 |
3 |
2 |
2 |
4 |
3 |
6 |
3 |
4 |
3 |
3 |
5 |
4 |
7 |
4 |
5 |
4 |
4 |
6 |
5 |
8 |
5 |
6 |
5 |
5 |
7 |
6 |
9 |
6 |
7 |
6 |
1 |
2 |
3 |
5 |
5 |
2 |
7 |
2 |
3 |
4 |
6 |
6 |
3 |
8 |
3 |
4 |
5 |
7 |
7 |
4 |
9 |
4 |
5 |
6 |
8 |
8 |
5 |
10 |
5 |
6 |
7 |
9 |
9 |
6 |
11 |
2 |
7 |
1 |
4 |
2 |
1 |
12 |
3 |
8 |
2 |
5 |
3 |
2 |
13 |
4 |
9 |
3 |
6 |
4 |
3 |
14 |
5 |
10 |
4 |
7 |
5 |
4 |
15 |
6 |
11 |
5 |
8 |
6 |
5 |
16 |
2 |
4 |
1 |
4 |
2 |
2 |
17 |
3 |
5 |
2 |
5 |
3 |
3 |
18 |
4 |
6 |
3 |
6 |
4 |
4 |
19 |
5 |
7 |
4 |
7 |
5 |
5 |
20 |
6 |
8 |
5 |
8 |
6 |
6 |
21 |
1 |
3 |
4 |
6 |
4 |
1 |
22 |
2 |
4 |
5 |
7 |
5 |
2 |
23 |
3 |
5 |
6 |
8 |
6 |
3 |
24 |
4 |
6 |
7 |
9 |
7 |
4 |
25 |
5 |
7 |
8 |
10 |
8 |
5 |
26 |
3 |
7 |
2 |
6 |
2 |
2 |
27 |
4 |
8 |
3 |
7 |
3 |
3 |
28 |
5 |
9 |
4 |
8 |
4 |
4 |
29 |
6 |
10 |
5 |
9 |
5 |
5 |
30 |
7 |
11 |
6 |
10 |
6 |
6 |
31 |
1,5 |
3,5 |
2,5 |
5,5 |
2,5 |
3,5 |
32 |
2,5 |
4,5 |
3,5 |
6,5 |
3,5 |
4,5 |
33 |
3,5 |
5,5 |
4,5 |
7,5 |
4,5 |
5,5 |
34 |
4,5 |
6,5 |
5,5 |
8,5 |
5,5 |
6,5 |
35 |
5,5 |
7,5 |
6,5 |
9,5 |
6,5 |
7,5 |
36 |
3,5 |
4,5 |
1,5 |
2,5 |
4,5 |
1,5 |
37 |
4,5 |
5,5 |
2,5 |
3,5 |
5,5 |
2,5 |
38 |
5,5 |
6,5 |
3,5 |
4,5 |
6,5 |
3,5 |
39 |
6,5 |
7,5 |
4,5 |
5,5 |
7,5 |
4,5 |
40 |
7,5 |
8,5 |
5,5 |
6,5 |
8,5 |
5,5 |
1) Область допустимых значений
x2
k2
a2
0 |
a1 |
k1 |
x1 |
Целевая функция
f = b1x1 + b2x2 → max
2) Область допустимых значений
x2
k2
a2
0 |
a1 |
k1 x1 |
|
33
ЗАДАНИЕ № 3
МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
3.1.Задание для предложенного варианта
3.1.1.Построить конусы возможных направлений в угловых точках допустимого множества задачи ЛП (задание № 2.1).
3.1.2.Построить конусы, сопряженные к конусам возможных направлений в угловых точках допустимого множества задачи ЛП.
3.1.3.Проверить условия оптимальности Куна – Таккера в угловых точках допустимого множества задачи ЛП. Показать, что эти условия выполняются только в оптимальной точке.
3.1.4.Найти точку безусловного экстремума (минимума) для заданной в табл. 3.1 целевой функции и начальной точки:
−методом наискорейшего спуска;
−методом Ньютона.
Для каждого из методов проделать пять итерационных шагов и оценить точность полученного решения. Для метода наискорейшего спуска сделать их с помощью одного из методов одномерной оптимизации (метод Фибоначчи, метод золотого сечения, метод квадратичной аппроксимации). Проделать не менее пяти шагов одномерной минимизации. Результаты вычислений оформить в виде таблицы, в которой необходимо отразить номер итерационного шага, значение целевой функции на данном шаге, решение на данном шаге.
3.1.5. Найти решение задачи выпуклого программирования одним из методов: методом возможных направлений; методом Нелдора – Мида. Проделать не менее пяти итерационных шагов. Оценить точность полученного решения. В качестве допустимых точек взять множество допустимых точек задачи ЛП (задание № 2), в качестве целевой функции и начальной точки взять соответствующие варианту значения из табл. 3.1. Результаты решения оформить в виде таблицы.
3.2. Методические указания к выполнению задания № 3
Будем придерживаться следующего варианта записи общей задачи нелинейного программирования:
ϕ(x)→min;
x X
34
X = {x : fi (x) ≥ 0,i =1,...,m}. |
(3.1) |
Если рассматривается задача на максимум и в ограничениях знак неравенства обратный, то к (3.1) несложно перейти, умножив соответствующие соотношения на –1.
Условия оптимальности Куна – Таккера имеют множество различных вариантов. Для наших целей наиболее приемлема дифференциальная форма, поскольку она имеет четкую геометрическую интерпретацию, которая заключается в следующем: если некоторая точка является решением задачи выпуклого программирования, то для этой точки конус, сопряженный к конусу возможных направлений, содержит антиградиент целевой функции. Следует убедиться в том, что предложенная задача нелинейного программирования – задача выпуклого программирования. Условия Куна – Таккера в различных вариантах описаны в работах [1–4].
Для выполнения задания пунктов 3.1.4, 3.1.5 можно воспользоваться рекомендуемой литературой [1,4].
3.3.Вопросы для самоконтроля
3.3.1.Какие дополнительные условия необходимы для того, чтобы общая задача нелинейного программирования (3.1) была задачей выпуклого программирования?
3.3.2.Сформулируйте условия Куна – Таккера в дифференциальной форме. Какое значение в данном контексте имеют условия Слейтера [1,4]?
3.3.3.Сформулируйте условия Куна – Таккера в интегральной форме (необходимые и достаточные условия существования седловой точки).
3.3.4.В чем состоит основная идея применения теоремы Куна – Таккера для решения задачи нелинейного программирования?
3.3.5.Как используются методы одномерной оптимизации для решения задач нелинейного программирования?
3.3.6.Укажите характерные особенности методов нулевого, первого и второго порядков (поисковые методы, методы типа метода Ньютона).
3.3.7.В чем состоит геометрическая идея метода Вулфа и метода возможных (допустимых) направлений Зонтендейка?
3.3.8.Сформулируйте задачу квадратичного программирования.
35
3.4. Варианты задания
|
|
|
Таблица 3.1 |
|
|
|
|
|
|
Номер |
Целевая функция, ϕ(x) |
Нач. точка |
Безусловный |
|
варианта |
x(0) |
минимум x |
||
|
||||
1 |
(x1 −8)2 + (x2 −15)2 + (x1 − 8)(x2 −15) |
(0,7) |
(8,15) |
|
2 |
(x1 −10)2 + (x2 −15)2 + (x1 −10)(x2 −15) |
(4,5) |
(10,15) |
|
3 |
(x1 − 6)2 + (x2 − 7)2 + (x1 − 6)(x2 − 7) |
(0,1) |
(6,7) |
|
4 |
(x1 − 6)2 + (x2 − 6)2 + (x1 − 6)(x2 − 6) |
(1,2) |
(6,0) |
|
5 |
(x1 −12)2 + (x2 −10)2 + (x1 −12)(x2 −10) |
(2,6) |
(12,10) |
|
6 |
(x1 − 7)2 + (x2 − 7)2 + (x1 − 7)(x2 − 7) |
(6,1) |
(7,7) |
|
7 |
(x1 −13)2 + (x2 −16)2 + (x1 −13)(x2 −16) |
(7,7) |
(13,16) |
|
8 |
(x1 −13)2 + (x2 −11)2 + (x1 −13)(x2 −11) |
(0,6) |
(13,11) |
|
9 |
(x1 − 7)2 + (x2 − 9)2 + (x1 − 7)(x2 − 9) |
(3,5) |
(7,9) |
|
10 |
(x1 − 8)2 + (x2 −10)2 + (x1 − 8)(x2 −10) |
(2,3) |
(8,10) |
|
11 |
(x1 − 8)2 + (x2 − 8)2 + (x1 − 8)(x2 −8) |
(6,1) |
(8,8) |
|
12 |
(x1 −11)2 + (x2 −10)2 + (x1 −11)(x2 −10) |
(11,0) |
(11,10) |
|
13 |
(x1 −10)2 + (x2 − 5)2 + (x1 −10)(x2 − 5) |
(0,5) |
(10,5) |
|
14 |
(x1 −13)2 + (x2 − 9)2 + (x1 −13)(x2 − 9) |
(13,0) |
(13,9) |
|
15 |
(x1 − 9)2 + (x2 − 9)2 + (x1 − 9)(x2 − 9) |
(9,0) |
(9,9) |
|
16 |
(x1 −12)2 + (x2 − 8)2 + (x1 −12)(x2 − 8) |
(4,4) |
(12,8) |
|
17 |
(x1 −10)2 + (x2 − 8)2 + (x1 −10)(x2 − 8) |
(3,3) |
(10,8) |
|
18 |
(x1 −10)2 + (x2 −12)2 + (x1 −10)(x2 −12) |
(2,5) |
(10,12) |
|
19 |
(x1 −10)2 + (x2 − 7)2 + (x1 −10)(x2 − 7) |
(5,5) |
(10,7) |
|
20 |
(x1 − 7)2 + (x2 − 6)2 + (x1 − 7)(x2 − 6) |
(1,1) |
(7,6) |
|
21 |
(x1 − 8)2 + (x2 − 9)2 + (x1 −8)(x2 − 9) |
(4,3) |
(8,9) |
|
22 |
(x1 − 9)2 + (x2 −10)2 + (x1 − 9)(x2 −10) |
(3,4) |
(9,10) |
|
23 |
(x1 −10)2 + (x2 −10)2 + (x1 −10)(x2 −10) |
(2,2) |
(10,10) |
|
24 |
(x1 −10)2 + (x2 −11)2 + (x1 −10)(x2 −11) |
(8,0) |
(10,11) |
3.5. ЗНЛП с дополнительными условиями
Решить графически задачу нелинейного программирования. Используя условия Куна – Таккера, проверить, является ли данная точка оптимальной. Исходные данные (согласно вариантам) даны ниже.
36
f = (x1 − 5)2 + (x2 −1)2 → min
|
x1 |
|
− 2x2 ≤ −2 |
|
|
|
||||||
1. |
7x |
− x |
2 |
|
≥13 |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ 3x2 ≤ 21 |
|
|
|
|||||
|
x1 |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
= (x |
+ 2)2 + (x |
2 |
− 7)2 → min |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
− 2x |
|
≥ 6 |
|
|
|
|||||
3. |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x1 |
|
+ x2 ≤11 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
− 2x2 ≤ 4 |
|
|
|
|||||
|
x1 |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
= (x |
− 8)2 + (x |
2 |
− 4)2 → min |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
− 2x |
|
|
≥ −12 |
|
|
|
|||
5. |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
+ x2 ≤10 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − 5x2 ≤ −10 |
|
|
|
||||||||
|
x |
|
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f = (x1 −10)2 + (x2 − 2)2 → min
|
x |
− 4x |
|
≤ −4 |
||
2. |
|
1 |
|
2 |
|
|
x1 |
+ x2 ≤11 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 − x2 |
≥ 3 |
||||
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
||
|
|
1 |
|
|
|
f = (x1 − 6)2 + (x2 − 5)2 → min
|
3x − 2x |
|
≥ −2 |
||
4. |
|
1 |
|
2 |
|
x1 |
+ 3x ≤11 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
4x1 + x2 |
≤ 37 |
|||
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
1 |
|
|
f = (x1 +1)2 + (x2 − 2)2 → min
|
3x − 2x |
|
≤ 9 |
||
6. |
|
1 |
|
2 |
|
x2 |
≤ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
≥10 |
|
|
2x1 + x2 |
||||
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
1 |
|
|
|
f |
= (x |
−10)2 + (x |
2 |
+ 7)2 |
→ min |
f |
= (x |
−1)2 + (x |
+1)2 |
→ min |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x + 3x |
|
≤ 22 |
|
|
|
|
3x − x |
|
≥ 7 |
|
|
|
||||||
7. |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
8. |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
x1 ≥ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 3x2 ≤ 27 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 − x2 |
≤ 9 |
|
|
|
|
x1 − 3x2 |
≤ −3 |
|
|
|
||||||||
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
= (x |
+ 2)2 + (x |
2 |
+1)2 → min |
f |
= (x |
− 9)2 + (x |
2 |
− 4)2 |
→ min |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
x1 + 3x2 ≥ 5 |
|
|
|
|
4x1 + 7x2 ≤ 49 |
|
|
|
||||||||||
9. |
5x + 3x ≤ 40 |
|
|
|
10. |
2x + x |
2 |
≤12 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − x2 ≥1 |
|
|
|
|
x1 − 2x2 |
≤ 4 |
|
|
|
|||||||||
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
37
f = (x1 − 5)2 + (x2 +1)2 → min
|
x1 |
− x2 ≥ −2 |
||||||
11. |
3x |
|
+ x |
2 |
≤10 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
− 3x2 |
≤ 0 |
|||
|
x1 |
|
||||||
|
x |
|
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
f = (x1 − 6)2 + (x2 − 6)2 → min
|
4x |
− x |
|
≥ 7 |
||
13. |
|
1 |
|
2 |
|
|
x1 |
+ x2 ≤ 8 |
|||||
|
|
− 4x2 |
≤ −2 |
|||
|
x1 |
|||||
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
||
|
1 |
|
|
|
|
f = (x1 −1)2 + (x2 − 6)2 → min
x1 − x2 ≥ −3
15.≥x2 2
2x1 − x2 ≤12
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= (x |
− 7)2 + (x |
2 |
−1)2 → min |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5x + x |
|
≥ −4 |
|
|
||||
17. |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
− x1 + x2 ≥ −4 |
|
|
|||||||
|
|
|
+ 4x2 ≤ 24 |
|
|
||||
|
x1 |
|
|
||||||
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= (x |
+ 2)2 + (x |
2 |
− 7)2 → min |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− 3x1 + 2x2 ≤ −6 |
|
|||||||
19. |
|
|
+ x2 ≤11 |
|
|
||||
x1 |
|
|
|||||||
|
|
|
− 2x2 ≤ 4 |
|
|
||||
|
x1 |
|
|
||||||
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f = (x1 +1)2 + (x2 − 3)2 → min
|
2x |
− 5x |
|
≥ −8 |
|
|
|
|||
12. |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2x1 + x2 ≥ 4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
− x2 ≤ 8 |
|
|
|
||||
|
2x1 |
|
|
|
||||||
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
= (x − 9) |
2 + (x |
2 |
−1)2 |
→ min |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + x |
|
≤ 26 |
|
|
|
|||
14. |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x1 |
− 2x2 ≤ 4 |
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − x2 ≥ −2 |
|
|
|
|||||
|
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f= x12 + x22 → min
16.11x1 − 3x2 ≥ 24
− ≤
9x1 110x1 ≥ 4x20;x2 ≥ 0
|
f |
= (x |
− 6)2 + (x |
2 |
+1)2 → min |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4x1 + 5x2 ≤ 29 |
|
||||||||||
18. |
3x |
|
− x |
2 |
|
≤14 |
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x1 + 2x2 ≥ 38 |
|
|
|
||||||||
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
= (x |
|
− 7)2 + x |
|
2 |
→ min |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3x − 2x ≥ 6 |
|
|
|
||||||||
20. |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x1 |
+ x2 ≤11 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
− 2x2 ≤ 4 |
|
|
|
||||||
|
x1 |
|
|
|
||||||||
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
f = x21 + x22 → min
|
x1 |
+ 3x2 ≥ 5 |
|||||
21. |
5x |
|
+ 3x |
≤ 40 |
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− xx + x2 |
≤ −1 |
|||||
|
x |
|
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
f = (x −1)2 + (x − 5)2 |
→ min |
||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
− 3x1 + 2x2 ≤ 2 |
|
||||
22. |
|
+ 3x2 |
|
≤11 |
|
|
x1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x1 + x2 |
≤ 37 |
|
|||
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
f |
= (x |
− 5)2 + x |
2 |
→ min |
|
f |
= (x |
|
− 5)2 + (x |
|
− 3)2 |
→ min |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
3x − x |
|
≤ 7 |
|
|
|
|
3x − 2x ≥ 6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
23. |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 3x2 ≤ 27 |
|
|
24. x1 + x2 ≥11 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x1 + 3x2 ≥ 3 |
|
|
|
|
x1 − 2x2 ≤ 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f |
= (x |
−1)2 + x |
|
2 |
→ min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
f = (x |
+ 2) |
2 + (x |
|
|
−1)2 |
→ min |
||||||||
|
x |
+ 3x |
|
≥ 22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
≥ 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− xx + x2 ≤ 3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + x3x |
|
≤ 97 |
|
|
|
|
|
||||||||
25. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
26. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2x1 − x2 ≤ 9 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
|
x1 |
+ 7x2 ≥ 77 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
≥ 0;x |
|
|
|
≥ 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
= (x |
− 9)2 + (x |
−1)2 |
f |
= x21 + x |
|
2 |
→ min |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − x |
|
≥ 9 |
|
|
|
x + 4x ≤ 53 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
27. |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
28. |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 3x2 ≤ 50 |
|
|
x1 − x2 ≤ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x2 ≥ 71 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
− xx + 4x2 ≥19 |
|
|
7x1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
x ≥ 0;x |
2 |
|
≥ 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = (x1 −1)2 + (x2 −1)2 → min
|
6x − 5x |
|
≥17 |
||
29. |
|
1 |
|
2 |
|
x1 |
+ 2x2 ≤ 34 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
− 4x1 + 9x2 ≥17 |
||||
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
1 |
|
|
f = (x1 −1)2 + (x2 − 7)2 → min− 3x1 +14x2 ≤ 78
30.5x1 − 6x2 ≤ 26x1 + 4x2 ≥ 26x ≥ 0;x2 ≥ 0
39
|
f |
= (x |
− 5) + (x |
2 |
−1)2 → min |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
x1 |
|
− 2x2 ≤ −2 |
|
|
|
||||||
31. |
7x |
− x |
2 |
|
≥13 |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ 3x2 ≤ 21 |
|
|
|
|||||
|
x1 |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
= (x |
+ 2)2 + (x |
2 |
− 7)2 → min |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
− 2x |
|
≥ 6 |
|
|
|
|||||
33. |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x1 |
|
+ x2 ≤11 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
− 2x2 ≤ 4 |
|
|
|
|||||
|
x1 |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
= (x |
− 8)2 + (x |
2 |
− 4)2 → min |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
− 2x |
|
|
≥ −12 |
|
|
|
|||
35. |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
+ x2 ≤10 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − 5x2 ≤ −10 |
|
|
|
||||||||
|
x |
|
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f = (x1 −10)2 + (x2 − 2)2 → min
x1 − 4x2 ≤ −4
32.x1 + x2 ≤112x1 − x2 ≥ 3
x1 ≥ 0;x2 ≥ 0
f = (x1 − 6)2 + (x2 − 5)2 → min
|
3x |
|
− 2x |
2 |
≥ −2 |
|||
34. |
|
1 |
|
|
|
|
||
x |
+ 3x |
|
|
≤11 |
||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4x1 + x2 ≤ 37 |
|||||||
|
x |
≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
f = (x1 +1)2 + (x2 − 2)2 → min
1− 2x2 ≤ 9
≤
36.x2 6
2x1 + x2 ≥ 10x1 ≥ 0;x2 ≥ 03x
|
f |
= (x |
−10)2 + (x |
2 |
− 7)2 |
→ min |
|
f = (x −1)2 + (x |
2 |
+1)2 |
→ min |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x + 3x |
|
≤ 22 |
|
|
|
|
|
3x − x |
|
≥ 7 |
|
|
|
|
|||||||
37. |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
38. |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 ≥ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 3x2 ≤ 27 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3x2 ≤ −3 |
|
|
|
|
|||||
|
2x1 − x2 |
≤ 9 |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
|
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
= (x |
+ 2)2 + (x |
2 |
+1)2 → min |
f |
= (x − 9)2 + (x |
2 |
− 4)2 → min |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x1 + 3x2 ≥ 5 |
|
|
|
|
4x1 + 7x2 ≤ 49 |
|
|
|
|
||||||||||||
39. |
5x + 3x ≤10 |
|
|
|
40. |
2x |
+ x |
2 |
≤12 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − x2 ≥1 |
|
|
|
|
x1 − 2x2 |
|
≤ 4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
|
x ≥ 0;x |
2 |
≥ 0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40
3.6. ЗНЛП для решения графическим методом
Сформулировать и решить графически задачу нелинейного программирования. Причем f (x) → min. (Варианты даны ниже).
|
2x + 5y ≤ 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2)(y +1) ≤16 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
≤ 36 |
||||||||||||||||
|
2x + y ≤14 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
x ≥ 0; y ≥ 0 3. |
x ≥ 0; y ≥ 0 |
||||||||||||||||||
|
x ≥; y ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = x + y |
|
|
|
|||||||||||
|
f = (x − 4)2 + (y −8)2 |
|
f = 2x + y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(x − 5)2 |
+ (y − 3)2 ≥ 9 |
|
|
0 ≤ x ≤ 3 |
|
y − |
|
x − 4 |
|
≤ 3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ (y − 3)2 ≤ 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ≤ x ≤ 6 |
|||||||||||||||||||
|
(x − 5)2 |
|
5x + 3y ≤ 24 |
|
||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x + y ≥ 8;x ≥ 0; y ≥ 0 |
|
|
y |
|
|
|
|
y ≥ 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = x2 + y2 |
|
|
f = x + y |
|||||||||||||||
|
f = x + 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x ≥ 3 |
|
|
|
|
|
2x + 5y ≤ 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
≤ 24 |
|
|
+ y ≤14 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
≤ 36 |
||||||||||||||
7. |
3x + 5y |
2x |
|
|
|
9. |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≥ 0; y ≥ 0 |
||||||||||||||
|
y ≥ 0 |
|
|
|
|
|
x ≥ 0; y ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
f |
= −x + 2y |
|||||||||||||||
|
f = |
|
x − 5 |
|
+ y |
f = |
(x − 2)2 + (y − 4)2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 5)2 |
+ (y − 3)2 ≥ 9 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(x − 2)(y +1) ≤16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(x − 5)2 |
+ (y − 3)2 ≤ 36 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. x ≥ 0; y ≥ 0 |
|
|
11. |
x + y ≥ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
f = (x − |
1) |
2 |
+ (y −1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x ≥ 0; y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 ≤ x ≤ 3 |
|
|
|
|
|
|
y − |
|
x − 4 |
|
≤ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5x + 3y ≤ 24 |
|
|
|
|
2 ≤ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f = (x − 4)2 + (y − 4)2 |
|
|
f = (x − 7)2 + (y − 7)2 |
|
|
|
|
41

x ≥ 3
+ ≤
3x 5y 24
y ≥ 0
f = (x − 3)2 + 4(y − 6)2
x2 + y2 ≤ 36 16. x ≥ 0; y ≥ 0
f = (x − 3)2 + (y − 2)2
(x − 5)2 + (y − 3)2 ≥ 9
(x − 5)2 + (y − 3)2 ≤ 36
18. x + y ≥ 8
x ≥ 0; y ≥ 0
f= x2 + y2
y − x − 4 ≤ 3
2 ≤ x ≤ 6
y ≥ 0
f = (x − 4)2 + (y − 2)2
2x + 5y ≤ 30
+ ≤
2x y 14
x ≥ 0; y ≥ 0
f = (x − 6)2 + (y − 2)2
2x + 5y ≤ 30
+ ≤
2x y 14
x ≥ 0; y ≥ 0
f = (x − 7)2 + (y − 7)2
(x − 2)(y +1) ≤16
17. ≥ ≥
x 0; y 0
f = (x − 4)2 + (y − 3)2
0 ≤ x ≤ 3
+ ≤
5x 3y 24
y ≥ 0
f = (x − 3)2 + 4(y − 6)2
x ≥ 3
+ ≤
3x 5y 24
y ≥ 0
f = (x − 4)2 + (y − 4)2
x2 + y2 ≤ 36 23. x ≥ 0; y ≥ 0
f = (x − 4 )2 + (y − 6)2
|
|
|
(x − 5)2 |
+ (y − 3)2 |
≥ 9 |
0 ≤ x ≤ 3 |
|||||||
|
(x − 2)(y +1) ≤16 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
+ (y − 3) |
2 |
≤ 36 |
|
|||||
|
|
|
(x − 5) |
|
|
5x + 3y ≤ 24 |
|||||||
24. |
x ≥ 0; y ≥ 0 |
25. |
x + y ≥ 8 |
|
26. |
|
|||||||
|
f = −x + 3y |
|
|
|
|
|
|
|
y ≥ 0 |
||||
|
|
x ≥ 0; y |
≥ 0 |
|
|
f = |
|
x − 5 |
|
+ y |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= xy |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42