Методичка Зайцева

– оптимального решения на основе базисного.

Решать задачу ЛП симплекс-методом можно с позиции прямой ЛП-задачи или двойственной ЛП-задачи.

Так как обе эти задачи по теореме двойственности связаны между собой, то решение прямой задачи одновременно приводит к решению двойственной к ней задачи. Поскольку обе задачи представляются одной и той же симплекс-таблицей, то условия выбора ведущего элемента для каждой из задач будут различными. В связи

сэтим различают прямой и двойственный симплекс-методы.

Втабл. 2.2 приведен алгоритм прямого и двойственного сим- плекс-метода для получения базисного решения.

Предположим, что получено опорное решение. Если при этом все элементы c j , j =1,...,n неположительные, то оно одновременно есть и решение оптимальное. Действительно, полагая все переменные равными 0, мы определяем максимальное значение целевой функции, поскольку базисные переменные по условию всегда неотрицательны.

В табл. 2.2 приводится алгоритм прямого и двойственного сим- плекс-метода для получения оптимального решения.

Необходимо уметь различать ситуации, в которых целесообразнее применять тот или иной метод решения задачи ЛП.

Математическая постановка задачи ЛЦП должна отталкиваться от (2.1). Очевидно, что достаточно к (2.1) добавить условия целочисленности. Методы целочисленного программирования подробно изложены в [1–3].

13

Если одна из координат оптимального плана нецелая, то при использовании симплекс-метода для достижения целочисленности необходимо иметь в виду, что добавление нового ограничения ведет к новой задаче ЛП, для которой двойственная задача сразу имеет опорное решение. Поэтому целесообразно для получения оптимального решения применять двойственный метод (табл. 2.3).

2.3.Вопросы для самоконтроля

2.3.1.Что называется допустимым базисным решением? Каким допустимым точкам эти решения соответствуют?

2.3.2.Как связаны между собой прямая и двойственная задачи ЛП? Сформулируйте основную теорему линейного программирования.

2.3.3.Какие переменные называются базисными? Какие свободными? Какая между ними связь?

2.3.4.Почему симплекс-таблица одновременно описывает прямую и двойственную задачи?

2.3.5.Каков геометрический смысл ведущего преобразования? Как выглядит схема ведущего преобразования для прямого и двойственного симплекс-метода?

2.3.6.Какова геометрическая идея симплекс-метода? Как эта идея реализуется?

2.3.7.Как выбирается ведущий элемент при получении базисного решения, при получении оптимального решения?

14

2.3.8.Как найти оптимальное решение двойственной задачи, решая соответствующую прямую задачу, и наоборот? В чем различие прямого и двойственного симплекс-метода?

2.3.9.В каком случае целесообразнее применять прямой сим- плекс-метод, а в каком — двойственный симплекс-метод?

2.3.10.Как выявить ситуации неразрешимости задачи ЛП при использовании симплекс-метода?

2.3.11.Когда возникает зацикливание симплекс-метода и как его устранить?

2.3.12.В чем состоит геометрический смысл метода Гомори решения задачи ЛЦП? Как эта идея реализуется?

2.3.13.Какова общая идея метода ветвей и границ? Как эта идея применяется к решению задачи ЛЦП?

2.4.Варианты задания

Вариант № 1 Вариант № 2 Вариант № 3

15

2.5. Дополнительные задачи. Математическая модель ЗЛП. Решение графическим способом и симплекс-методом

Приступая к решению задач, следует составить математическую модель ЗЛП. Решить задачу графическим способом и с помощью симплекс-метода. Составить двойственную модель ЗЛП. Двойственную задачу решить двойственным симплекс-методом. Проинтерпретировать исходную, двойственную задачи и полученные решения*.

Задача 1. Цех выпускает изделия двух видов: валы и втулки. На производство одного вала рабочий тратит 3 ч, одной втулки — 2 ч. От реализации вала предприятие получает прибыль 90 р., а от реализации втулки — 50 р. Цех должен выпустить не менее 110 шт. валов и не менее 150 шт. втулок. Сколько валов и втулок должен выпустить цех, чтобы получить наибольшую сумму прибыли, если фонд рабочего времени составляет 800 чел.-ч?

Задача 2. Обработка деталей А и В производится на трех станках. Причем каждая деталь при ее изготовлении должна последовательно обрабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации детали А составляет 100 р., детали В — 160 р. Исходные данные представлены в таблице. Определить производственную программу для обеспечения максимизации прибыли.

Задача 3. Торговое предприятие реализует два вида товаров (А и В), на производство которых использует четыре вида ресурсов. Нормы затрат ресурсов на изготовление 1 ед. товара, объем ресурсов приведены в таблице. Доход от реализации 1 ед. товара А составляет 2 р., товара В — 3 р. Определить оптимальный план реализации товаров, обеспечивающих торговому предприятию максимальную прибыль.

* Расценки даны в ценах 1982 г.

17

Задача 4. В суточный рацион включаются два продукта питания П1 и П2, причем продукта П1 должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость 1 ед. продукта П1 составляет 0,2 р., продукта П2 – 0,4 р. Определить оптимальный рацион, стоимость продуктов которого будет наименьшей (данные представлены в таблице).

Задача 5. Требуется составить суточный рацион для откорма свиней из кормов минимальной стоимости. Причем в рацион должно быть включено не более 2,5 кг ячменя. Кормовых единиц в сутки потребляется минимум 2,4 кг, протеина — 200 г. Исходные данные для решения задачи приведены в таблице.

Задача 6. Хозяйство располагает следующими производственными ресурсами: площадь пашни составляет 600 га, количество чел.-дн. конно-ручного труда — 4000. В таблице содержится информация о данном хозяйстве. Определить наиболее эффективное сочетание площадей, занятых зерновыми и кормовыми культурами, при условии, что под кормовые культуры должно быть отведено не менее 100 га пашни.

Задача 7. На приобретение оборудования по сортировке зерна руководство совхоза выделяет 34 млн р. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 60 м2. Совхоз может заказать оборудование двух видов: менее мощные машины типа А стоимостью 3 млн р., требующие производственную площадь для размещения 3 м2 (с учетом проходов) и обеспечивающие производительность за смену 2 т зерна, и более мощные машины типа Б стоимостью 4 млн р., занимающие площадь 5 м2 и обеспечивающие

18

за смену 3 т сортированного зерна. Требуется рассчитать оптимальный вариант приобретения оборудования с учетом того, что совхоз может купить не более восьми машин типа Б, обеспечивающих при данных ограничительных условиях максимум общей производительности.

Задача 8. Цех выпускает два вида изделий (А и Б), причем плановый выпуск за смену составляет 9 ед. А и 7 ед. Б. Ресурсы, рассчитанные на обеспечение работы в смену, следующие: 51 ед. производственного оборудования; 48 ед. сырья и 67 ед. электроэнергии. Расходы ресурсов на изготовление одного изделия отражены в таблице. Прибыль от реализации изделия А равна 4 тыс. р., Б — 5 тыс. р. Определить, сколько надо производить изделий каждого вида, чтобы получить максимальную прибыль от выпускаемых сверх плана изделий?

Задача 9. Торговая организация планирует реализацию товаров двух товарных групп. По данным группам соответственно выделены фонды 80 млн р. и 50 млн р. Уровень транспортных издержек составляет по этим товарам соответственно 1 % и 2 %. Уровень издержек, связанных с хранением товаров, — 2 % и 1 %, уровень прибыли — 3 % и 2 %. Предельно допустимые расходы, связанные с перевозкой и хранением товаров, равны 2,5 млн р. и 2,9 млн р. соответственно. С учетом закупки товаров сверх выделенных фондов определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую торговой организации максимальную прибыль.

Задача 10. Обработка деталей А и В производится на трех станках. Причем все изготавливаемые детали должны последовательно обрабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации детали А составляет 10 р., детали В — 16 р. Исходные данные представлены в таблице. Составить производственную программу, направленную на максимизацию прибыли при условии: деталей А произвести не менее 300 ед., а деталей В — не более 200 ед.

19

лить, какое количество грузовых и пассажирских поездов должна обработать бригада, чтобы получить максимальную прибыль?

Задача 15. Для производства продукции А и В предприятие использует 4 вида станков. На производстве одного изделия А заняты в течение смены 10 станков I гр., 5 станков II гр., 20 станков III гр., 0 станков IV группы. В производстве изделия В заняты соответственно 10, 10, 0, 20 станков. Всего в течение смены могут быть использованы соответственно 180, 210, 240, 180 станков каждой группы. Составить оптимальный план на достижение максимума прибыли, если прибыль от реализации одного изделия А — 40 р., изделия В — 60 р.

Задача 16. Завод выпускает вагоны двух типов, используя для этого три вида оборудования А, B, C. На выпуск одного вагона I типа затрачивается 20 ч работы оборудования А, 10 ч — оборудования В и 10 ч — оборудования С; на выпуск II типа соответственно 10, 20 и 0 ч. Всего оборудование А может работать не более 360 ч, оборудование В — не более 240 ч, оборудование С — не более 180 ч. Определить, сколько вагонов каждого типа должен выпускать завод, чтобы их общее количество было максимальным?

Задача 17. Ткань двух артикулов выпускается на ткацком станке с известной производительностью (в часах на 1 м): 1 ч и 2 ч (соответственно на выпуск ткани I и II артикулов). Расход пряжи на 1000 м: 1 кг и 1 кг, кроме того, на производство ткани I артикула расходуется цветного красителя 1 г на 1 м, станок может работать 20 ч, цех имеет 16 кг пряжи и 8 ед. красителя. 1 м ткани I артикула стоит — 80 р., II артикула — 50 р. Найти оптимальный план по максимальному выпуску товарной продукции.

Задача 18. Нефтеперерабатывающий завод использует 3 полуфабриката для получения сортов бензина. Содержание компонентов в 1 л бензина, их минимальная норма, необходимая для получения бензина, и стоимость 1 л готового бензина даны в таблице. Определить, какое количество бензина каждого сорта надо получить, чтобы стоимость его была минимальной?

21

Задача 19. Вагоноремонтное депо ремонтирует вагоны двух типов. Ремонт выполняется посредством трех групп оборудования. На ремонт одного вагона I типа затрачивается на станках каждой группы 2 дня, 1 день и 1 день, на ремонт вагона II типа — 1, 2, 0 дней. Всего работа на оборудовании каждой группы может занять 12, 8 и 4 дня соответственно. Завод получает за обработку вагона I типа — 200 р., II типа — 300 р. прибыли. Определить, какое количество вагонов надо отремонтировать, чтобы прибыль завода была максимальной.

Задача 20. На обработке вагонов двух типов заняты три бригады. Время обработки вагона каждой бригадой, время работы бригады за смену и прибыль от обработки одного вагона указаны в таблице. Определить, какое количество вагонов обоих типов должны обработать бригады, чтобы получить максимальную прибыль?

Задача 21. Для обработки транзитных и разборочных поездов станция может отвести в сутки 36 лок.-ч и 48 бриг.-ч осмотрщиков вагонов. Обработка I транзитного поезда требует 0,3 лок-ч и 0,48 бриг.-ч, одного разборочного 1,0 лок.-ч и 1,2 бриг.-ч. Всего может быть обеспечено локомотивами 62 поезда. Определить, при каком соотношении транспортных и разборочных поездов станция получит максимальную прибыль, если за пропуск транзитного она получает 600 р., разборочного — 1000 р. прибыли?

Задача 22. Необходимо составить план выпуска изделий двух видов, рассчитанный на достижение максимальной прибыли. Число рабочих, занятых на изготовлении единицы изделия первого вида 4 чел., второго — 8 чел. Общее число рабочих составляет 40 чел. За смену производится не более 6 изделий первого вида и не более 2 изделий второго вида. Прибыль от реализации единицы изделия первого вида 10 р., а второго — 20.

Задача 23. Требуется спланировать строительство двух типов домов с минимальными издержками. Известно, какие квартиры могут быть размещены в доме. Информация о потребности в кварти-

22