56.Уравнение шреденгера.Волновая функция и ее физ. Смысл

олнова́яфу́нкция, или пси-функция —комплекснозначная функция, используемая вквантовой механикедля описаниячистого состояния системы. Является коэффициентом разложениявектора состоянияпо базису (обычно координатному):

Физический смысл волновой функции

В координатном представлении волновая функция зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату её модуля, который интерпретируется как плотностьвероятности(для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатамив момент времени:

.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией , можно рассчитать вероятностьтого, что частица будет обнаружена в любой областиконфигурационного пространстваконечного объема:.

Следует также отметить, что возможно измерение и разницы фаз волновой функции, например, в опыте Ааронова — Бома.

57.Квантование энергии электрона в потенциальной яме.

Рассмотрение стационарных задач квантовой механики начнем с наиболее простой для анализа задачи - о движении частицы в потенциальной яме с непроницаемыми, т.е. бесконечно высокими стенками. Такие ямы называют еще потенциальными ящиками, наиболее часто это название применяется по отношению к трехмерной потенциальной яме. Выявленные при этом особенности движения, такие, например, как квантование энергии, вырождение энергетических уровней и т.д. в дальнейшем будут проанализированы для случая ямы конечной глубины.

     Одномерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия частицы имеет вид

     

т.е. внутри ямы () потенциальная энергияпостоянна и равна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность ( рис.4.1 ).

Рис. 4.1.

     Запишем уравнение Шредингера для одномерного движения частицы вдоль оси 

     

(4.11)

     Поскольку вне ямы потенциальная энергия обращается в бесконечность, то для того, чтобы выполнялось уравнение (4.11), необходимо, чтобы вне ямы волновая функцияобращалась в ноль, т.е.. Это означает, что в случае ямы с бесконечно высокими стенками частица не может выйти за пределы ямы, поскольку такие стенки являются непроницаемыми для частицы. В силу непрерывности волновая функциядолжна обращаться в нуль и на границах ямы: прии при.

Таким образом, задача о движении частицы в яме сводится к решению уравнения

(4.12)

     с граничными условиями

     

Введем обозначение

(4.13)

При этом уравнение (4.12)принимает вид хорошо известного из теории колебаний уравнения

решение которого есть

(4.14)

Используя граничное условие , получаем

откуда следует, что , где. Отметим, что при четных значенияхи при, а при нечетных значениях. Однако, физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля, который от выбора значения, т.е. от знакане зависит. Поэтому без потери общности можно считать, что.

Второе граничное условие приводит к соотношению

которое для выполняется при

(4.15)

Отметим, что значение , формально также входящее в решение(4.14), не удовлетворяет условию задачи, т.к. при этом, что означает, что частица в яме отсутствует. Поэтому значениеследует отбросить.

Подставляя (4.13)в(4.15), приходим к выражению для полной энергии частицы, движущейся в потенциальной яме с непроницаемыми стенками