МЕТОДА 2 КУРС 3 СЕМЕСТР / ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

4. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА

4.1. Основные положения

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

a11x a12 y b1,a21 x a22 y b2 .

Если определитель второго порядка

a11 a12 , a21 a22

составленный из коэффициентов при переменных x и y (называемый определителем системы) не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое ищется по формулам Крамера:

где x , y - определители второго порядка, имеющие следующий вид:

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

a11 x a12 y a13 z b1,a21x a22 y a23 z b2 ,

a31 x a32 y a33 z b3.

Для неё справедливо аналогичное утверждение, а именно: если определитель системы

то система имеет единственное решение, которое ищется по формулам Крамера,

x x , y y , z z ,

где x , y , z - определители третьего порядка, имеющие следующий вид:

Если рассмотреть систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

21

и определитель матрицы A коэффициентов системы не равен нулю (detA 0), то такая система тоже имеет единственное решение, которое определяется формулами Крамера:

4.2 Примеры

Решить системы уравнений по формулам Крамера и сделать проверку.

3x 2y 4,

1. 4x y 9.

Решение:

34 12 3 1 ( 2) 4 3 8 11 0,

следовательно, система имеет единственное решение. Вычислим дополнительные определители системы:

34

y 4 9 3 9 4 4 27 16 11.

По формулам Крамера находим решение системы:

Сделаем проверку, подставив найденные значения x и y в систему:

Итак, решение системы найдено верно.

22

3y

2.x 2y z 2,x y 3z 6.z 1,2x

Решение:

По схеме треугольников находим основной определитель системы

2 3 1

1 1 3

12 3 1 2 9 2 17

ак как основной определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение.

Находим дополнительные определители x , y , z , заменяя соответственно первый, второй и третий столбцы определителя столбцом свободных членов.

Далее по формулам Крамера находим решение системы

Сделаем проверку, подставив найденные значения для x, y, z в систему:

Итак, система решена верно.

23

4.3Задачи для самопроверки

4.12x 3y 1,x 4y 6.

x y 2z 1,

4.22x y 2z 4,4x y 4z 2.

3x 2y z 5,

4.32x 3y z 1,2x y 3z 11.

x 2y 4z 31,

4.45x y 2z 29,3x y z 10.

Ответы:

4.1x=2; y=1.

4.2x=1; y=2; z=-2.

4.3x=2; y=-2; z=3.

4.4x=3; y=4; z=5.

24

5. РАНГ МАТРИЦЫ

5.1 Основные определения.

Пусть А - m n –матрица. Возьмем число k min{m;n} и выберем

некоторые k строк и k столбцов матрицы А. Элементы матрицы А, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют квадратную k k – матрицу. Ее определитель называют минором порядка k матрицы A и обозначают Mk .

Пусть при вычислении всех миноров матрицы А оказалось, что хотя бы один минор порядка r Mr 0 , а все миноры порядка r+1 либо равны нулю,

либо не могут быть составлены. Тогда число r называют рангом матрицы. Каждый отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу

матрицы, называют ее базисным минором. Строки и столбцы матрицы, в которых содержатся элементы базисного минора, также называют базисными.

Ранг матрицы будем обозначать rgА.

Для вычисления ранга матрицы целесообразно преобразовать её, используя преобразования, которые не изменяют ранга матрицы. Такие преобразования матрицы называют элементарными и к ним относятся:

1) умножение всех элементов какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля;

2)прибавление к элементам одной строки, соответствующих элементов другой строки;

3)перестановка двух строк;

4)тоже самое для столбцов;

5)исключение нулевой строки.

Если одна матрица может быть получена из другой с помощью элементарных преобразований, то эти матрицы называют эквивалентными или подобными и обозначают A~B.

Если ранг матрицы равен r, то используя элементарные преобразования строк, матрицу А можно привести к ступенчатому виду.

Ступенчатой называется матрица размера m n, если она имеет следующий вид

Ступенчатая матрица не имеет нулевых строк. Все ступеньки ступенчатой матрицы имеют в высоту одну строку, число ступенек равно числу строк матрицы и рангу матрицы.

25

Шириной ступеньки называется число элементов строки, стоящих на ступеньке. Столбцы k1 k2 ,…, km ступенчатой матрицы – базисные.

5.2. Примеры.

Вычислить ранги матриц

умноженную на «-4», а к третьей строке – первую, умноженную на «-10»] ~

следовательно, ранг матрицы A равен двум. В качестве базисного минора удобно взять минор, включающий первый и второй столбцы преобразованной матрицы:

26

Ранг матрицы А rgA=2. В качестве базисного минора возьмем минор, включающий первый и третий столбцы:

Замечание. В качестве базисных выбираем те столбцы, элементы которых стоят первыми слева на «ступеньках» преобразованной матрицы.

5.3 Задачи для самопроверки

Ответы

5.1.3.

5.2.2.

5.3.3.

27

6. ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ m ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ

называется системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.

Сопоставим этой системе четыре матрицы:

m х n - матрицу А, составленную из коэффициентов aij :

и называемую основной матрицей системы;

m×(n+1) - матрицу (А|B) (расширенную матрицу системы), получаемую из матрицы А дописыванием (n+1)-го столбца - столбца свободных членов уравнений:

28

и n×1 - матрицу X из переменных x j :

x1 X= x2 .

...xn

Тогда данная система уравнений может быть записана в форме, называемой матричной: AX = B

Всякий упорядоченный набор чисел x10 , x20 ,..., xn0 , подстановка которых вместо переменных x1 , x2 ,..., xn соответственно обращает все

уравнения системы в верные равенства, называется решением системы. Системы, имеющие хотя бы одно решение, называются совместными, в противном случае система несовместна. Системы, имеющие единственное решение, называют определенными, а при наличии более одного решения - неопределенными.

Вопрос о совместности системы решается применением теоремы Кронекера-Капелли:

для того, чтобы система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы А равнялся рангу расширенной матрицы системы (А|B).

Таким образом, решение задачи о поиске всех решений системы следует начинать с вычисления рангов основной и расширенной матриц системы. Возможны следующие результаты исследования:

1)если rg A = rg (A|B) = n - количеству неизвестных, то система имеет единственное решение;

2)если rg A = rg (A|B) = r<n, то система имеет бесконечно много решений, при этом можно выбрать n-r переменных, называемых параметрами, произвольно, а для каждого конкретного набора их значений остальные r переменных, называемых базисными, будут определяться однозначно;

3)если rg A < rg (A|B), то система несовместна.

6.2Примеры

Исследовать и решить системы уравнений методом Гаусса.

x1 2x2 x3 2,

1.x1 5x2 4x3 3,2x1 3x2 3x3 1.

29

Решение:

Находим ранги основной и расширенной матриц, приводя матрицы к ступенчатому виду:

Получаем, что rg A = rg (A|B) = 2. В силу теоремы Кронекера-Капелли система будет совместной. Найдем решения системы

x1 2x2 x3 2,7x2 5x3 5,

которая равносильна исходной системе. В качестве базисного минора М2 выберем минор

М2= 01 72 =7 0

Тогда базисными переменными будут x1 и x2 , а x3 - это параметр (свободная переменная). Пусть x3 . Тогда система запишется в виде:

x1 2x2 2,7x2 5 5.

Найдем решение последней системы, выразив базисные переменные x1

иx2 через параметр . Из второго уравнения системы получаем

5 5

x2 7

Подставляя найденное значение для x2 в первое уравнение системы, получаем

30