МЕТОДА 2 КУРС 3 СЕМЕСТР / ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Федеральное агентство по образованию

________________________________

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

_______________________________________________________

Кафедра Высшей математики

Т.В. Слободинская

Ю.А. Необердин

А.В. Ржонсницкий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие для студентов заочной формы обучения

Санкт-Петербург

2008

1

ББК 22.1

Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие / Слободинская Т.В., Необердин Ю.А., Ржонсницкий А.В. - СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2008 – 51 с.

Учебное пособие составлено в соответствии с учебной программой курса «Математика» для инженерных специальностей и направлений подготовки.

В учебное пособие включены теоретические вопросы и примеры решения задач по первому разделу дисциплины линейная алгебра и аналитическая геометрия (контрольная работа №1).

Учебное пособие предназначено для студентов 1 курса заочной формы обучения, изучающих дисциплину «Математика».

рис.11, библиогр. 4 назв.

Рецензент: Крауклис П.В., доктор физ.-мат. наук, проф, ведущий научный сотрудник петербургского отделения математического института Российской Академии наук.

Утверждено на заседании физико-матетматического отделения

03.06.2008.

Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ).

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Линейная алгебра и аналитическая геометрия – разделы дисциплин «Высшая математика». В соответствии с программой дисциплины, с изложением этих разделов начинается чтение курса высшей математики.

Настоящие методические указания включают в себя как классические вопросы линейной алгебры (операции над матрицами, исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений), так и разделы аналитической геометрии (плоскость и прямая в пространстве), знания которых необходимо как для успешного изучения курса самой математики (дифференциальные уравнения, теория вероятности), так и других дисциплин (физика, химия, экономика).

Цель данных методических указаний – оказание помощи студентам заочного отделения в овладении основными понятиями указанных разделов и в приобретении навыков, необходимых для успешного решения заданий контрольной работы №1.

4

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ

1.1. Основные определения

Произвольное множество mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется m n - матрицей, а сами числа – элементами матрицы. Мы будем использовать следующую форму записи матрицы:

где в обозначении элемента aij первый индекс указывает номер строки, а

второй – столбца, в которых расположен данный элемент. В случаях, когда этого достаточно, матрицу обозначают прописными латинскими буквами A, B, C,…

Транспонированной по отношению к m n - матрице

в столбцах которой стоят элементы строк матрицы А.

Если m=n, то n n - матрицу называют квадратной матрицей порядка n. Элементы a11, a22 , ..., ann образуют ее главную диагональ, а элементы

a1n , a2n 1, ... ,an1 - побочную диагональ.

Введем важную числовую характеристику квадратной матрицы, называемую ее определителем. Сделаем это сначала для матриц, имеющих порядок 2 и 3.

Пусть дана квадратная 2 2 - матрица

Определителем второго порядка, соответствующим матрице (1.1), называется число

det A A a11 a12

a21 a22

и определяемое равенством

5

Рассмотрим далее квадратную 3 3 - матрицу:

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1.3) называется число

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (1.4) берутся со своим знаком, а какие с противоположным, можно использовать так называемое «правило треугольников»:

1.2. Примеры

Вычислить данные определители второго и третьего порядков.

1.13 42 1 4 2 3 4 6 2

2.2 7 2 21 7 ( 6) 06 21

45 84 96 105 72 48 225 225 0

6

3 4 7 5 1 3 3 1 8 4 3 2 7 5 ( 1) 7 1 2 4 5 8 3 3 ( 1)

6.2 1 8

24 24 35 14 160 9 57 209 152

a11 a12 a13

7.a21 a22 a23 a11a22 0 a12a23 0 a13a210 a13a22 0 a12a210 a11a23 0 0

0 0 0

a b c

8. 2a 2b 2c 6ab 2bc 4ac 2bc 6ab 4ac 0 1 2 3

Замечание. Обратите внимание на примеры 3, 5, 7, 8, т.е. на те определители, которые оказались равными нулю.

1.3 Свойства определителей

Введем ряд новых понятий, необходимых для формулировки свойств. Пусть дан определитель матрицы (1.3). Строка, состоящая из чиселai1 aj1 , ai2 aj2 , ai3 aj3 , называется линейной комбинацией i-й j-й

строк. Аналогично определяется и линейная комбинация столбцов определителя.

Выберем некоторый элемент aij в определителе матрицы (1.3) и

вычеркнем из определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся числа образуют при этом определитель второго порядка, называемый минором Mij ,

соответствующим элементу aij .

Число

Aij ( 1)i j Mij

называется алгебраическим дополнением элемента aij определителя. Сформулируем свойства определителя:

1)определитель не меняется при транспонировании (свойство равноправности строк и столбцов);

2)при перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет лишь знак;

3)если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой его строки, умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится (то же для столбцов);

4)умножение какой-либо строки определителя на некоторый коэффициент равносильно умножению определителя на этот коэффициент (то же для столбца);

5)если все элементы какой-либо строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно записать в виде суммы двух определителей, у которых элементами той же строки являются соответствующие первые и вторые

7

слагаемые, а остальные строки такие же, как в исходном определителе (то же для столбцов);

6) определитель заведомо равен нулю в следующих случаях: а) если все элементы какой-либо строки его равны нулю (то

же для столбцов); б) если он имеет две одинаковые строки (то же для столбцов);

в) если он имеет две пропорциональные строки (то же для столбцов);

г) если какая-либо строка его является линейной комбинацией других строк (то же для столбцов).

7)определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки его на их алгебраические дополнения (то же для столбцов);

8)сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю (то же для столбцов).

Замечание. Можно предложить еще два (кроме формулы (1.4)) способа вычисления определителя третьего порядка, основанных на использовании свойств.

1-й способ. Свойство 7 позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению не более, чем трех определителей второго порядка. А именно, для определителя матрицы (1.3) справедливо, например,

det A a11 A11 a12 A12 a13 A13

Аналогично выписываются еще пять формул сумм произведений элементов второй и третье строк, а также каждого из столбцов на соответствующие алгебраические дополнения. При этом очевидно, что если в какой-либо строке (каком-либо столбце) один или два элемента равны нулю, то достаточно будет вычислить два или один определитель второго порядка, соответственно. Таким образом, при вычислении определителя с помощью свойства 7 целесообразно использовать ту строку (или тот столбец), в котором меньше всего ненулевых элементов.

2-й способ. Используя свойство 3, можно добиться того, что в любом определителе появиться строка (столбец), содержащая не более одного ненулевого элемента. Последующее применение свойства 7 сведет вычисление определителя третьего порядка к вычислению не более, чем одного определителя второго порядка.

1.4. Примеры

1. Вычислить двумя способами

1 2 3

4 5 6

7 8 9

8

1-й способ. Обозначив данный определитель , выпишем сумму произведений элементов какой-либо его строки (например, первой) на их алгебраические дополнения:

1A11 2A12 3A13

Вычислим теперь необходимые алгебраические дополнения:

Наконец, находим

1( 3) 2 6 3( 3) 0

2-й способ. Заметив, что элемент a11 , данного определителя равен 1, а a12 =2, a13 =3, преобразуем , вычитая из элементов второго столбца элементы

первого столбца, умноженные на 2, а из элементов третьего столбца – на 3. Согласно свойству 3 величина определителя при это м не изменится. Получим

Преобразованный определитель имеет два пропорциональных столбца (элементы третьего столбца получаются из элементов второго умножением на 2), а потому он равен нулю (свойство 6 в).

Заметив, что элемент a22 данного определителя равен 1, а a12 =4,

преобразуем определитель, вычитая из элементов первой строки элементы второй строки, умноженные на 4, и прибавляя к третьей строке вторую. Получим

Преобразованный определитель удобно записать в виде суммы произведений элементов второго столбца на их алгебраические дополнения, так как второй столбец содержит всего один ненулевой элемент:

0A12 1A22 0A32 A22 1 2 2 M 22 M 22 .

Получили, что для вычисления определителя третьего порядка достаточно найти всего один определитель второго порядка – минор M22 :

9

Таким образом, данный определитель 152 .

1.5. Задачи для самопроверки

Вычислить данные определителя второго и третьего порядков.

10