2. Расчет стержня на прочность и жесткость при кручении

Дано:

2. расчётная схема стержня (РГР-1, задача 2);

3. эпюра продольных сил T_x (РГР-1, задача 2);

4. допускаемое касательное напряжение для материала стержня [τ]=90 МПа;

5. модуль сдвига материала стержня G=8МПа

6. допускаемый угол закручивания на единицу длины стержня [Ф]=1,2

Требуется:

1. из условия прочности определить диаметр стержня d сплошного поперечного;

2. из условия прочности определить наружный d_н и внутренний d_в, диаметры стержня кольцевого поперечного сечения при α= d_в: d_н=0,8;

3. сравнить по весу стержня сплошного и кольцевого поперечных и оценить экономию материала при изготовлении стержня кольцевого сечения;

4. построить эпюры распределения касательных напряжений вдоль диаметра одного из опасных сечений сплошного и полого стержней;

5. определить углы закручивания сечений стержня сплошного поперечного сечения, построить эпюру углов закручивания и проверить стержень на жесткость;

6. если условие жесткости не выполняется, то определить новый диаметр стержня сплошного сечения на основе этого условия.

Рис. 2. Расчетная схема стержня с эпюрами крутящих моментов и углов закручивания

Решение:

1. Определение диаметра стержня сплошного поперечного сечения вычисляется по формуле (2.1):

, (2.1)

–максимальные по абсолютной величине расчётные касательные напряжения в опасном сечении стержня; – максимальный по абсолютной величине крутящий момент, принимаемый из эпюры T_x; – полярный момент сопротивления сечения стержня; [τ]- допускаемое касательное напряжение материала стержня ([τ] = 90 Мпа), определяется требуемый момент сопротивления

м³

Выразив диаметр из формулы (2.2), находится требуемый d_тр и округлённый d_ст диаметры стержня сплошного поперечного сечения:

, (2.2)

то для диаметра d_тр в соответствие с формулой для круга получим:

обычно округляют в большую сторону (d_ст ≥ d_тр).

Принимаем d_ст=140 мм, тогда:

Определение наружного d_н и внутреннего d_в диаметров кольцевого поперечного сечения по найденному выше для кольцевого сечения при

Округляем до d_н=160 мм.

2. По округленному значению d_н определяем уточнённое значение для кольца:

3. Из отношениянаходим внутренний диаметр сечения:

d_в=d_н∙α=160∙0,8=128 мм d_в=130 мм

4. Сравнение по весу стержней сплошного и кольцевого поперечных сечений:

Результаты говорят о достоинстве и экономичности стержня кольцевого поперечного сечения.

Распределение напряжений τ при кручении в опасном сечении вычисляется по формуле (2.3):

, (2.3)

где r – расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки; I_р –полярный момент инерции поперечного сечения стержня.

5. Определяем полярный момент инерции поперечного сечения стержня I_р:

1. для сечения в виде круга диаметром d=130 мм

I_{р сп}=0,1∙d⁴=0,1∙(0,140)⁴=3,842∙10^-5 м⁴

2. для сечения в виде кольца с наружным диаметром d_н=160 мм

I_{р к}=0,1∙d⁴_н∙(1-α⁴)=0,1∙(0,160)⁴∙(1-0,8⁴)=3,869∙10^-5 м⁴

6. Расчёт касательных напряжений τ:

1. для сечения в виде круга

τ является допустимым по условию прочности вала

2. для сечения в виде кольца

τ является допустимым по условию прочности вала

7. Углы закручивания φ_i на i-ом участке кольцевого поперечного сечения определяются по формуле (2.4):

, (2.4)

где . Знак момента T_xi в этой формуле соответствует знаку T_xi на эпюре крутящих моментов T_x.

Расчёт углов закручивания φ сечений стержня сплошного поперечного сечения:

1. для первого участка

2. для второго участка

3. для третьего участка

Для построения эпюры углов закручивания сечений стержня (рис. 2) найдём перемещение ∆l_xi на i-ом участке:

φ_х1=0+φ₁=0-0,0032=-0,0032 рад

φ_х2= φ_х1+φ₂=-0,0032+0,0065=0,0033 рад

φ_х3= φ_х2+φ₃=0,0033+0,0130=0,0163 рад

Необходимо сделать проверку на жесткость сплошного поперечного сечения по формуле (2.5):

(2.5)

Условие жёсткости не выполняется, необходимо найти новый требуемый момент поперечного сечения стержня

А затем новое значение диаметра

d_ст=150