
Определение внутренних усилий
Внутренние усилия при растяжении (сжатии) стержня
Продольной силой в поперечном сечении стержня называется проекция главного вектора системы внутренних сил на ось х.
Рассмотрим прямолинейный стержень, нагруженный системой внешних сил, линии действия которых совпадают с осью стержня (рис. 1).
Рис. 1. Стержень с заданными внешними продольными силами
Проектируя внешние силы на ось стержня, находим реакцию в опоре по формуле (2.1).
,
(2.1)
Где F1, F2, F3, F4 – продольные силы, действующие на стержень
Проводим сечение 1-1 в произвольном месте I грузового участка и отбрасываем левую часть (рис. 2).
0≤≤1м
Рис. 2. Мысленное сечение для грузового участка I
Направляем ось x в сторону внешней нормали к сечению и направляем искомый вектор N1, в отрицательном направлении oси х.
Составляем уравнение равновесия (2.2) и определяем продольную силу N
(2.2)
где F3 –продольная сила, N1 – неизвестная величина деформации растяжения
Проанализируем полученный результат.
Поскольку
сечение 1-1 проведено в произвольном
месте первого
грузового
участка, а значение
не
зависит от координаты сечения,
следовательно,
на всем первом грузовом участке сила
Продольная сила, направленная в сторону внешней нормали к сечению, вызывает деформацию растяжения, следовательно,
(сжатие)
Аналогично
получаем значения
и
на втором и третьем грузовых участках.
Проводим сечение для второго грузового участка (рис. 3):
1≤≤3м
Рис. 3. Мысленное сечениие для грузового участка II
Уравнение равновесия для второго грузового участка (2.2):
(2.2)
где F2, F3 –продольные силы, N2 – неизвестная величина деформации растяжения
N2=20 кН (растяжение)
В третий грузовой участок стержня входят грузовые участки I, II; в него включена вся длина стержня (Рис. 4):
Рис. 4. Изображеие грузового участка III
Уравнеие равновесия для данного участка выглядит ледующим образом (2.3):
(2.3)
где F1, F2, F3 –продольные силы, N3 – неизвестная величина деформации растяжения
N3= 10 кН(растяжение)
Координаты потенциально опасных сечений находятся на втором участке:
кН
Внутренние усилия при кручении стержня
Крутящим моментом в поперечном сечении стержня называется проекция главного момента системы внутренних сил на ось x.
Рассмотрим прямолинейный стержень, нагруженный внешними парами сил, лежащими в плоскостях, перпендикулярных оси стержня. Моменты таких пар называются скручивающими моментами.
Чтобы определить крутящие моменты в поперечных сечениях стержня и построить эпюру крутящих моментов (Рис. 5), заменим пары сил M векторами их моментов. Как известно, вектор момента пары сил перпендикулярен плоскости действия пары сил и направлен в ту сторону, откуда вращение пары кажется происходящим против часовой стрелки
Рис. 5. Стержень с заданными скручивающими силами
Поскольку скручивающие пары сил расположены в плоскостях, перпендикулярных оси стержня, следовательно, векторы моментов этих пар будут направлены по оси стержня. Определим крутящие моменты Т. в каждом сечения
Рассматриваем левую часть стержня (Рис. 6).
0≤≤1м
Рис. 6. Мысленное сечение грузового участка I
Составляем уравнение равновесия для рассматриваемой части стержня, используя формулу (2.4):
(2.4)
где
– заданная скручивающая сила,
– неизвестн момент
Поскольку
величина T
не
зависит от координаты сечения,
следовательно,
на первом участке крутящий момент
постоянен и равен
.
TX1=40 кН
Находим крутящие моменты на остальных участках. Для второго грузового участка (Рис. 7):
1≤≤3м
Рис. 7. Мысленное сечение грузового участка II
Для грузового участка II уравнение равновесия выглядит следующим образом (2.5):
,
(2.5)
Где
T2,
T3
– заданные скручивающие силы,
– неизвестный крутящий момент
TX2=10 кНм
Рассмотрим третий грузовой участок (Рис. 8):
3≤≤4м
Рис. 8. Мысленное сечение для грузового участка III
Уравнение равновесия для третьего грузового участка имеет следующий вид (2.6):
,
(2.6)
TX3=10кНм
Координаты потенциально опасных сечений находятся на первом участке:
кНм
Внутренние усилия при изгибе консольной балки с жесткой заделкой
Поперечной силой в сечении называется проекция главного век тора системы внутренних сил на ось, расположенную в плоскости попе речного сечения, а изгибающим моментом называется проекция главного момента системы внутренних сил на ось, расположенную в плоскости поперечного сечения.
Рассмотрим
прямолинейный стержень, подверженный
плоскому поперечному изгибу
Рис. 9. Балка с действующими на нее поперечными силами
Требуется определить внутренние силы в поперечных сечениях стержня и построить эпюры внутренних силовых факторов.
Составляем уравнение равновесия (2.7) для системы сил, действующих на рассматриваемую часть балки (Рис. 9), что бы найти опорную реакцию FA и момент MA
(2.7)
где F1- заданная поперечная сила, l1, l2- длины участков балки, q1- равномерно распределенная нагрузка
Делаем проверку на правильность расчетов FA и MA :
(2.8)
где точка B-любая точка на балке, не
совпадающая с A
10-20+102
1-10∙2+10=0
Проверка не обнаруживает ошибок в определении FA , MA.
Проведем сечение на первом грузовом участке и рассмотрим левую часть стержня (Рис. 10)
0≤≤2м
Рис. 10. Сечение для грузового участка I
Составим уравнение равновесия для данного участка (2.9):
(2.9)
где F1- заданная поперечная сила, q1 – заданная нагрузка
Функция QY (х) есть производная от М(х) и на границах участка меняет знак, следовательно, внутри промежутка [0;2] она обращается в ноль, а функция М(х) в этой точке имеет экстремум.
Находим координату точки экстремума (2.10):
Qy1=0
х=1
(2.10)
Определяем значение Mz1 в произвольной точке участка (2.11):
х=0,5
(2.11)
Проведём сечение на втором грузовом участке и рассмотрим правую часть стержня (Рис. 11):
1м≥≥0м
Рис. 11. Сечение грузового участка II
Уравнение равновесия для второго участка (2.12):
кНм
(2.12)
Координата
потенциально
опасных сечений, как видно из эпюры Qx
в
начале первого участка при
0м,где
;
и
на протяжении всего второго участка,
где Qx
постоянно и также равно
и,
как
видно из эпюры
Мz,
находится
в конце второго участка при xi=1м
где
|
Внутренние усилия при изгибе балки на двух шарнирных опорах с одной консолью
Рис. 12. Изображение балки с действующими на нее внутренними усилиями
Требуется определить внутренние силы в поперечных сечениях балки и построить эпюры внутренних силовых факторов.
Определим опорные реакции FA и FВ, составив 2 уравнения равновесия (2.3) и (2.14):
(2.13)
(2.14)
Проведем проверку по уравнению (2.15):
(2.15)
-10+30+12,5-20-12,5=0 - силы рассчитаны верно
Проведем сечение на первом грузовом участке и рассмотрим левую часть стержня (Рис. 13):
0≤≤1м
Рис. 13. Сечение на первом грузовом участке балки
Составляем 2 уравнения равновесия для системы сил, действующих на рассматриваемую часть стержня (2.16) и (2.17), и найдем значения действующих силы и момента:
(2.16)
Рассмотрим сечение на втором грузовом участке стержня (Рис. 14):
1м≤≤3м
Рис. 14. Сечение второго грузового участка балки
Для данного участка составим уравнения равновесия (2.18) и (2.19):
(2.18)
кНм
(2.19)
Проведем сечение на третьем грузовом участке и рассмотрим правую часть стержня:
Рис. 15. Сечение на третьем грузовом участке балки.
Составим уравнения равновесия (2.20) и (2.21) для данного участка:
(2.20)
(2.21)
Найдём
значение
в произвольной точке на участке:
0<х<1
х=0,5
Потенциально
опасное сечение, как видно из эпюры Qx
находится
на третьем грузовом участке при хi=1м,
где
;
и,
как
видно из эпюры
Мx,
- на
втором участке при xi=0м
где
.