Lektsii_VychMat_6-8
.pdf
æç1 ç0 çç çç0 çè0
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
¢ |
|
¢ |
|
|
¢ |
-1 |
¢ |
a12 |
a13 |
a1 n |
a1 n |
||||
1 |
|
¢¢ |
|
|
¢¢ |
|
¢¢ |
a23 |
a2 n-1 |
a2 n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
a(n-1) |
|
|
|
|
|
|
|
n-1 n |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
b1¢
b2¢¢
bn(n-1-1) bn(n)
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
Обратный ход. |
|
|
|
|
|
||||
Значение xn находим из последнего |
||||
уравнения: |
xn = bn(n) . |
|
||
|
|
|
|
|
Далее, двигаясь «снизу вверх», находим |
||||
остальные неизвестные: |
|
|||
x = b(i) - |
n |
|
||
a(i) × x |
, |
|||
i |
|
i |
å i j j |
|
j=i+1
i = n -1, n - 2,...,1 .
Алгоритм метода.
1)Для k = 1,…, n-1 выполнить пп. 2 – 5 и перейти к п. 6.
2)Положить z = akk .
3)Для j = k + 1,…, n : заменить akj на akj /z .
4)Заменить bk на bk /z .
5)Для i = k + 1,…, n :Исходные данные: n, {a } , {b }.
6) |
Положить xn = bn /ann . |
||
|
|
||
7) |
|
|
|
Для i = n - 1,…, 1 : |
|
||
|
положить |
|
|
|
|
|
n |
|
xi = bi - åai j × xj . |
||
|
|
j=i+1 |
|
8) |
Ответ: x , x , …, x |
; СТОП. |
|
|
1 2 n |
|
|
Замечание 1.
Если на некотором шаге k окажется:
(это всегда возможно, если определитель системы отличен от 0 – доказать
a(k -1) ¹ 0
ak(kk-1) = 0 ,
то нужно переставить уравнения так, чтобы
k k
самостоятельно!)
Замечание 2.
Как известно, если из строки матрицы вычесть
другую её строку, умноженную на некоторое число, то определитель матрицы не изменится.
С другой стороны, если строку матрицы разделить на число, то определитель новой матрицы будет равен определителю исходной, делённому на это число.
Наконец, нетрудно видеть, что определитель матрицы системы, полученной в результате прямого хода метода Гаусса, равен 1.
Отсюда получим, что определитель матрицы |
|||
исходной системы равен произведению: |
|||
|
|
|
|
|
¢ |
(n-1) |
. |
a11 ×a22 |
×...×ann |
||
|
|
|
|
Таким образом, процедуру метода Гаусса |
|||
можно использовать и для нахождения |
|||
определителя. |
|
|
|
|
|||
Схема Жордана.
(Алгоритм описать самостоятельно!)
Если на шаге k метода Гаусса исключать xk
из всех уравнений, кроме k-го, то в результате прямого хода получится система с единичной матрицей:
x |
= b(n) , |
i |
i |
i =1,2,...,n , |
|
и обратный ход становится не нужен. |
|
Иоганн Карл Фри́дрих Га́усс |
|
(Johann Carl Friedrich Gauß) |
|
|
|
|
|
(1777-1855) |
|
|
|
Wilhelm Jordan
|
|
(1842-1899) |
|
|
|
|
|