Lektsii_VychMat_6-8

В этом случае существует обратная матрица: A-1 - и решение системы можно представить в виде:

где cij - элементы матрицы A-1 .

Используя соотношение:

Отсюда, заметив, что

- определитель матрицы, полученной из

матрицы A заменой i -го столбца столбцом B,

получим известные формулы Крамера:

xi = DDi .

Однако использование этих формул требует вычисления (n +1) определителей порядка n , и при n >3 они обычно не применяются.

Используемые на практике методы решения СЛАУ можно разделить на две группы:

точные и итерационные.

Точные методы характеризуются тем, что с их помощью принципиально возможно, проделав конечное число операций, получить точные значения неизвестных.

При этом, естественно, предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно, а все вычисления производятся без округлений.

Итерационные методы характеризуются тем, что с самого начала задаются некоторые приближённые значения неизвестных.

Далее, исходя из них, находят новые приближённые значения, с которыми поступают аналогично, и т.д.

Таким образом строится последовательность, сходящаяся к точному решению.

Ограничиваясь некоторым конечным числом шагов, получают приближённое решение.

Метод Гаусса и его модификации

i =1,2,...,n .

Метод Гаусса относится к точным методам.

В основной схеме метода Гаусса различают прямой и обратный ход.

Предположим, что a11 ¹ 0, и будем исключать

(i = 2, …, n) первое, умноженное на ai1 .

В результате получим систему, расширенная матрица которой имеет вид:

i, j = 2,...,n .

Для этого разделим обе части второго

Предполагая, что a'22 ¹ 0, будем исключать x2 из уравнений, начиная с третьего.

уравнения на a' и вычтем из i-го уравнения

(i 3, …, n) второе, умноженное на a'i2 .

= 22

Продолжая этот процесс, на шаге n разделим обе части последнего уравнения на коэффициент при xn , и получим систему, расширенная матрица которой имеет вид: