Lektsii_VychMat_6-8

(1872-1919)

(1871-1945)

Пусть имеется линейная краевая задача:

y¢¢ + p(x)× y¢ + q(x)× y = f (x),

(1)

¢

a1 × y(a)+ b1 × y (a)= g1 ,

(2)

¢

= g 2 .

a2 × y(b)+ b2 × y

(b)

Разобьём отрезок [a , b] на n равных

частей точками

æ

b - a

ö

xi = a + i × h çh

=

, i = 0,1,...,n÷ .

n

è

ø

Эти точки будем называть узлами

(очевидно: x0

= a ,

xn = b ).

¢¢

¢

Если y (x) - решение уравнения (1), то на

отрезке [a , b]

имеет место тождество:

y (x)+ p(x)× y (x)+ q(x)× y(x)º f (x).

Полагая здесь x = xi и используя формулы

численного дифференцирования,

получим:

yi-1 - 2yi + yi+1

+ p ×

yi+1 - yi-1

+ q × y

= f

, (1')

h2

i

2h

i

i

i

где

p

= p(x

), q

= q(x

), f

i

= f (x ),

i

i

i

i

i

yi – приближённое значение y (xi),

где

i = 1, 2, … , n -1.

Равенство (1') можно записать в виде:

ai·yi-1 + bi·yi + ci·yi+1 = di ,

pi

pi

a =

1

-

, b = -

2

+ q , c

=

1

+

, d

i

= f

i

.

2h

h2

i

h2

i

h2

i i

2h

Таким образом, получили (n -1) уравнений

для (n +1) неизвестных

y0 , y1,…, yn .

Ещё два уравнения получим, используя

граничные условия (2):

a

× y

+ b ×

y1 - y0

= g

,

1

0

1

h

1

a2

× yn + b2

× yn - yn-1 = g 2 .

h

где

b0·y0

+ c0·y1 = d0 ,

an·yn-1 + bn·yn = dn ,

b = a

1

-

b1

, c =

b1

, d

0

= g

1

,

h

h

0

0

a

n

= -

b2

, b = a

2

+

b2

, d

n

= g

2

.

h

n

h

Классификация методов

Пусть имеется система n линейных

алгебраических уравнений (СЛАУ) с n

неизвестными: