Lektsii_VychMat_6-8

2-я модификация метода Эйлера

(графическая иллюстрация – также самостоятельно!).

Действуя, как и ранее, можно показать, что в

общем случае погрешность каждой из этих модификаций метода Эйлера – бесконечно

малая порядка h2 при h ® 0 (при этом очевидно, что объём вычислений – в 2 раза больше, чем в обычном методе Эйлера).

Ещё более высокий порядок точности (4-й) обеспечивает следующий метод РунгеКутта, который также представляет дальнейшую модификацию метода Эйлера.

Как видим, объём вычислений – примерно в 4 раза больше, чем у метода Эйлера, зато

погрешность - бесконечно малая порядка h4 при h ® 0 .

В настоящее время метод Рунге-Кутта получил весьма широкое распространение (в частности, он реализован в системе

MathCAD).

Martin Wilhelm Kutta

Правило Рунге для оценки

погрешности численных методов

Пусть y (x) - точное решение задачи Коши, а yn - приближённое значение y(xn) ,

полученное каким-то из рассмотренных

численных методов при выбранном шаге h

(xn = x0 + n·h).

Уменьшим шаг в 2 раза: h* = ½ h - и найдём - приближённое значение решения в же точке xn = x*2n = x0 + 2n·h*.

Вычитая из первого равенства второе, получим:

где

- бесконечно малая порядка выше hm при h ® 0.

Пример алгоритма