Lektsii_VychMat_6-8
.pdf
Геометрическая иллюстрация.
y
y2
y1 y0
0
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y=y(x) |
|
|
|
|
h·f(x1 |
, y1) |
|
|
|
|
|
||
|
|
h·f(x0 , y0) |
|
|
|
h |
h |
|
|
x0 |
|
x1 x2 |
|
x |
Leonhard Euler |
|
(1707-1783) |
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность метода Эйлера
Докажем сначала следующую лемму:
Пусть a > 0, b ³ 0, e0 = 0 ,
|ei+1| £ (1+ a)·|ei| + b (i = 0, 1, …, n-1). |
|||||
|
|
|
|
||
Тогда при k = 0, 1, …, n справедливо |
|||||
неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
eka -1 |
|
||
|
e |
£ b × |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
k |
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство (по индукции). |
|||||
|
|||||
(4)
(5)
При k = 0 неравенство (5) очевидно.
|
|
|
|
|||||||||||||
Допустим, оно верно при некотором k = m |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 £ m < n-1). Тогда, согласно (4): |
|
||||||||||||||
|
em+1 |
£ (1+a )× |
em |
+ b £ (1+a )× b × |
ema -1 |
|
+ b = |
|||||||||
|
|
= |
b |
×((1+a )×ema |
-1). |
|
a |
|
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда, так как 1+ a £ ea = |
1+ a + a2/2+… , |
|||||||||||||||
|
получим: |
|
|
|
|
e(m+1)a -1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
em+1 |
|
£ b × |
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. (5) справедливо и при k = m +1, что и
Пусть y (x) - точное решение задачи Коши, а yi
завершает доказательство.
- приближённое значение y(xi) , полученное методом Эйлера.
Будем предполагать, что f (x, y) имеет непрерывные частные производные по x и по y в некотором прямоугольнике
D = {(x, y): x0 £ x £ xn , a £ y £ b}
(считаем, что y (x) и yi принадлежат [a , b]).
Обозначим:
|
|
|
|
||||||||||
ei = yi - y(xi) |
(погрешность yi ) , |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
M0 |
= max |
|
f (x, y) |
|
, M1 = max |
fx¢(x, y) |
, |
||||||
|
(x ,y )ÎD |
|
f y (x, y) |
|
(x ,y )ÎD |
|
|
|
|
|
|||
M 2 |
= max |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x ,y )ÎD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно формуле Тейлора |
|
y¢¢(xi ) |
|
|
|
|
|||||||
y(xi+1 )= y(xi )+ y¢(xi )× h + |
|
× h2 |
, |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
где xi Î [xi , xi+1] .
Вычитая это равенство из равенства (3), с
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
учётом того, что y' (xi) = f (xi, y (xi)) , |
2 |
|
||||||||||
|
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e |
i+1 |
= e |
i |
+ ( f (x , y |
)- f (x , y(x )))× h - |
y¢¢(xi ) |
× h2 |
|||||||
|
|
|
i i |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|||
|
f |
(x , y |
)- f (x , y(x |
))= f ¢(x ,h )×(y - y(x )) |
||||||||||
|
Используя формулу конечных приращений: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14243 |
||||
|
|
i i |
i |
i |
y |
i i |
|
i |
|
i |
||||
|
где hi |
Î [a , b] , имеем: |
|
|
|
|
|
ei |
||||||
|
|
|
y¢¢(xi ) |
|
|
|
||||||||
|
|
ei+1 = (1+ f y¢(xi ,hi )× h)×ei - |
|
|
× h2 . |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
,
С учётом того, что
|
|
|
|
|||||||||
¢¢ |
¢ |
|
|
¢ |
|
|
|
¢ |
|
|
||
y (x)= f |
x |
(x, y(x)) |
+ f |
|
(x, y(x))× |
|
y (x) |
, |
||||
|
|
|
|
y |
|
{ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x,y(x)) |
|
|||
видим, что для ei выполняются условия |
|
|||||||||||
леммы, если взять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
M1 + M 2 × M |
|
|
2 |
|
|
||||
a = M 2 × h , b = |
|
|
|
|
|
× h |
. |
|
||||
2
Тогда, согласно (5), при k = 0, 1, …, n :
ek £ C ×(ek×M 2 ×h -1)×h £C ×(eM 2 ×L -1)×h ,
где обозначено:
|
|||||
|
|
|
|
||
C = |
M1 |
+ M 2 |
× M |
, |
|
|
|
|
2M 2 |
|
|
L = n × h = xn - x0 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
Итак, в общем случае погрешность метода Эйлера – бесконечно малая порядка h при h ® 0.
Достоинством метода является его простота; недостатком – невысокий порядок точности
1-я модификация метода Эйлера
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Для повышения порядка точности можно |
|
||||
воспользоваться следующей формулой: |
|
||||
|
|
yi+1 = yi + Dyi , |
|
||
где |
|
|
|
|
|
Dy |
= h × |
f (xi , yi )+ f (xi + h, yi + h × f (xi , yi )) |
|
, |
|
|
|||||
i |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = 0,1,...(n -1) . |
|
||
(графическая иллюстрация – самостоятельно!)