Lektsii_VychMat_6-8

Метод последовательных

приближений

(1)

y' = f (x, y)

Пусть имеется задача Коши для ОДУ 1-го

порядка:

y(x0) = y0 .

(2)

есть решение задачи (1)-(2).

Тогда выполняется тождество

u' (x) º f (x, u (x)).

(3)

Заменим x на t и проинтегрируем обе

части по t от x0

до x :

u(x )-u(x )

òx u¢(t)dt

º òx

f (t,u(t))dt.

14243

x0

x0

0

В силу начального условия: u(x0) = y0 .

Итак, имеем тождество:

u(x)º y0 + òx

f (t,u(t))dt ,

(4)

x0

решение интегрального уравнения:

(5)

y(x)= y0

+ òx f (t, y(t))dt .

x0

Последовательность приближённых

решений строится по формуле:

(6)

yn (x)= y0 + òx f (t, yn-1(t))dt ,

x0

n = 1,2,... .

Теорема о сходимости

Пусть функция f (x, y) непрерывна в

(x ,y )ÎD

прямоугольнике

D = {(x, y): x - x0 £ a, y - y0

£ b}

и удовлетворяет условию Липшица по y :

~

(x, y)Î D,(x, y )Î D Þ

f (x, y)-

~

£

L ×

~

,

f (x, y )

y - y

где L - некоторая постоянная.

Обозначим:

, h = minìa,

b

ü.

M = max

f (x, y)

í

M

ý

î

þ

Тогда существует (и притом единственная!)

функция y(x) , определённая на отрезке

[x0 - h, x0 + h ] , являющаяся решением

задачи Коши (1)-(2), а последовательность

(6) сходится к y(x) равномерно на этом

отрезке.

Погрешность приближения yn (x) можно

оценить по формуле:

yn (x)- y(x)

£ M × Ln ×

x - x0

n+1

£

M × Ln × hn+1

.

(n +1)!

(n +1)!

Численные методы.

Метод Эйлера

Пусть имеется задача Коши для ОДУ 1-го

порядка:

(1)

y' = f (x, y)

y(x0) = y0 .

(2)

Коши (1)-(2) на отрезке [x0

, xn] . Значит,

имеет место тождество:

y' (x) º f (x, y (x)) .

Полагая x = xi

и обозначив через yi

i

приближённое значение y (xi) , после

замены:

y (x )»

yi+1

- yi

¢

h

- получим уравнение:

yi+1 - yi

= f

(x , y

) .

h

i

i

Отсюда:

yi+1 = yi + h × f (xi , yi ),

(3)

i = 0,1,...(n -1) .