Lektsii_VychMat_6-8
.pdfМетод Зейделя
|
|
Данный метод представляет собой |
(k) |
(k +1) |
|
модификацию метода простых итераций. |
|
Его идея состоит в том, что для вычисления xi(k |
|||||||
+1) в формуле (3) при i ³ 2 используются уже |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
найденные значения xj |
|
вместо xj : |
|||||
x(k +1) = c + |
|
n |
|
|
(k ) , |
|
|
å |
d |
× x |
|
||||
1 |
1 |
1 j |
|
j |
|
||
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
i-1 |
|
|
|
n |
xi(k +1) = ci + ådij × x(jk +1) |
+ ådij × x(jk ) , |
||||||
|
|
|
j=1 |
|
|
|
j=i |
i = 2,...,n .
Применительно к компьютерным расчётам один шаг метода Зейделя можно рассматривать как покоординатную
реализацию формулы (3), если под знаком
"=" понимать оператор присваивания, а под X - одномерный массив из n элементов, на нулевом шаге заполненный координатами вектора X(0) .
При этом элементы массива будут последовательно замещаться новыми элементами.
В методе же простых итераций (МПИ) требуется сохранять массив X(k) , пока не
сформируется полностью новый массив
X(k+1) .
В связи с этим метод Зейделя называют также методом последовательных смещений, а МПИ - методом одновременных смещений.
Часто метод Зейделя даёт более быструю сходимость, чем МПИ.
Количество операций
Нетрудно заметить, что в каждом из рассмотренных итерационных методов на
одном шаге выполняется n2 умножений и n2 сложений – всего 2n2 операций.
Количество шагов зависит от требуемой
точности и от того, насколько удачно выбрано начальное приближение.
Можно доказать, что количество операций в основной схеме метода Гаусса равно
n ×(4n2 + 9n - 7) 2n3 . 6 3