Lektsii_VychMat_6-8
.pdf
Таким образом, общее количество операций |
||||||
|
|
|||||
|
|
|
6 |
|||
основной схемы метода Гаусса равно: |
||||||
N = N |
|
+ N |
|
= |
n ×(4n2 + 9n - 7) |
. |
|
прям. |
|
обр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(при больших значениях n это число пропорционально n3 ).
Самостоятельно получить, что для схемы
Жордана: N = n ×(n +1)×(2n -1) .
2
Итерационные методы решения СЛАУ
Метод простых итераций |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть имеется система n линейных |
|
|
алгебраических уравнений (СЛАУ) с n |
|
|
неизвестными: |
|
|
|
|
|
n |
|
|
åai j × xj = bi , |
(1) |
|
j=1 |
|
|
i =1,2,...,n .
Предположим, что все диагональные элементы aii ¹ 0 .
Тогда, решая i-е уравнение системы |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
относительно xi , получим эквивалентную |
(2) |
|||||||||||||||||||
ïx |
= c |
|
+ d |
|
|
× x |
+ d × x + ...+ d |
|
× x |
|
|
|
||||||||
систему: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ìx1 = c1 + d12 × x2 + d13 × x3 + ...+ d1n × xn |
|
|
|
|
||||||||||||||||
ïx |
= c |
|
+ d × x + d |
× x |
+ ...+ d |
|
|
× x |
|
|
|
|||||||||
ï 2 |
|
2 |
|
|
21 |
1 |
23 |
3 |
2n |
|
|
n |
|
, |
|
|||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î n |
|
n |
|
|
n1 |
|
1 |
n2 |
2 |
|
n n-1 |
|
n-1 |
|
|
|||||
где |
|
|
bi |
|
|
|
|
aij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
c = |
, d |
ij |
= - |
|
(i ¹ j) , d |
ii |
= 0 , |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
i |
|
aii |
|
|
aii |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или, в матричной форме::
|
|
||||
|
|
|
X = C + DX . |
||
|
|
|
|
|
|
Будем решать эту систему методом |
|||||
итераций. |
|
|
|
|
|
Пусть X(0) - некоторое начальное |
|||||
|
(k+1) |
|
(k) |
|
|
приближение. Строим итерационную |
|||||
последовательность по формуле: |
|||||
|
X |
|
= C + DX |
|
, |
т.е. |
xi(k +1) |
|
n |
|
|
|
= ci + ådij × x(jk ) , |
||||
|
|
|
j=1 |
|
|
|
k |
= 0,1,2,... . |
|
|
|
(3)
(4)
Нетрудно доказать, что если итерационная
последовательность сходится, то её
предел является решением исходной системы.
Заметим, что не обязательно, чтобы dii = 0. В общем случае, представив
A = A0 + A1 ,
где A0 - невырожденная матрица, исходную систему
AX = B
запишем в виде:
A0 X = B - A1 X , |
|
|||
|
||||
что равносильно: |
|
|
|
|
X = A-1B - A-1 A X . |
|
|||
|
0 |
0 |
1 |
|
C = A-1B, D = -A-1 A , |
||||
Тогда, полагая |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
имеем (3). |
|
|
|
|
В частности, систему (2) получим, взяв
|
||||||||
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
||
æa |
|
0 |
|
0 |
ö |
|||
ç |
11 |
|
|
|
|
÷ |
||
ç |
0 |
a22 |
0 |
÷ |
||||
A0 = ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
0 |
a |
|
÷ |
|||
è |
|
|
|
|
|
|
nn ø |
|
(диагональная матрица).
Теорема о сходимости
|
||||||||
|
|
|
||||||
Если выполнено хотя бы одно из условий: |
||||||||
1) |
|
n |
||||||
"i =1,...n å |
di j |
<1, |
||||||
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||
2) "j =1,...n å |
|
di j |
|
<1, |
||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
3) |
ån (dij )2 <1 , |
|||||||
|
i, j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
то итерационная последовательность
обозначает |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
X(k+1) = C + DX(k) , |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сходится к решению системы X = C + DX, при |
|||||||||||||||||
любом X(0) , причём это решение |
|
||||||||||||||||
единственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Можно также доказать, что при этом: |
|
||||||||||||||||
|
|
x - X |
(k ) |
|
£ |
q |
|
|
|
X |
(k ) |
- X |
(k -1) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1- q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x - точное решение, |
q - левая часть |
||||||||||||||||
неравенства 1), 2) или 3), а || X || |
|
||||||||||||||||
max |
|
xi |
|
, |
||
|
|
|||||
|
||||||
|
|
n |
||||
1£i£n |
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
å xi или |
||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
å(xi )2 |
|||||
|
||||||
|
i=1 |
|||||
- соответственно.
(Доказательство можно найти в различных учебниках).