kr_6_10

Задание №1

Измените порядок интегрирования

Решение:

Данная область интегрирования определена такими неравенствами: 

Найдем точку пересечения графика функции :

Найдем точку пересечения графика функции и :

Для изменения порядка интегрирования разобьем область интегрирования на три: D₁ , D₂ и D₃. 

Задание №2

Вычислите двойной интеграл

Решение:

Изобразим область интегрирования.

Из чертежа видим, что , а у изменяется от до .

Тогда:

Задание №3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

Решение:

Начертим графики данных функций:

Из графика видно, что точка пересечения графика функции

(2; 4).

Также эти точки можно найти, решив систему уравнений:

Площадь искомой фигуры можно представить следующим образом:

Задание №4

Вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями.

Решение:

– полупараболический цилиндр, – плоскость, параллельная оси Oy

z = 0 – плоскость xOy, .

Рис. 1. Проекция области G на плоскость xOy

Найдем точку пересечения графика функции :