4.2 Пример решения задачи методом искусственного базиса

Решим двухэтапным методом искусственного базиса задачу из раздела 1.3.1. Для этого ее надо вначале привести к канонической форме:

min 4х₁+ 15х₂ + 40х₃

380х₁ + х₂+ 2х₃– х₄ = 4

380х₁ + х₂+ 2х₃+ х₅= 6

90х₂+ 50х₃– х₆= 110

20х₂+ 80х₃+ х₇= 25

х₁+ х₂ + х₃ = 0,5

х_1-7 0

Здесь дополнительная переменная х₄представляет собой превышение содержания кальция в рационе над минимально допустимым, а х₅показывает, на сколько оно ниже максимально допустимого. Переменная х₆показывает, на сколько содержание белка в рационе больше минимально допустимого, а х₇– на сколько меньше содержание клетчатки по сравнению с максимально допустимым. Все эти величины измеряются в граммах.

В этой задаче свободные члены неотрицательны. Имеется часть базиса, а именно единичные столбцы стоят при двух переменных – х₅и х₇(во втором и четвертом ограничениях). В остальных трех уравнениях базисных переменных нет, поэтому введем три искусственные переменные и построим расширенную задачу для реализации двухэтапного симплекс-метода следующим образом:

min у₁ + у₂+ у₃

380х₁ + х₂+ 2х₃– х₄ + у₁= 4

380х₁ + х₂+ 2х₃+ х₅= 6

90х₂+ 50х₃– х₆+ у₂= 110

20х₂+ 80х₃+ х₇= 25

х₁+ х₂ + х₃+ у₃= 0,5

х_1-7 0

у_1-3 0

Решим расширенную задачу обычным симплекс-методом. Тогда исходная таблица примет вид таблицы 14.

Таблица 14 – Исходная симплексная таблица для расширенной задачи

				0	0	0	0	0	0	0	1	1	1
N	xб	cб	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	у1	у2	у3
1	у1	1	4	380	1	2	-1	0	0	0	1	0	0
2	x5	0	6	380	1	2	0	1	0	0	0	0	0
3	у2	1	110	0	90	50	0	0	-1	0	0	1	0
4	x7	0	25	0	20	80	0	0	0	1	0	0	0
5	у3	1	0,5	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1
m+1			114,5	381	92	53	-1	0	-1	0	0	0	0

Так как задача на минимум, здесь критерий оптимальности нарушен в столбцах при трех первых переменных (в критериальной строке в них стоят положительные коэффициенты). В качестве разрешающего можно выбрать любой из них. Выберем, например, столбец x₂. Тогда из базиса выйдет переменная у₃. Следующая таблица будет иметь вид таблицы 15.

Таблица 15 – Вторая симплексная таблица для расширенной задачи

N	xб	cб	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	у1	у2	у3
1	у1	1	3,5	379	0	1	-1	0	0	0	1	0	-1
2	x5	0	5,5	379	0	1	0	1	0	0	0	0	-1
3	у2	1	65	-90	0	-40	0	0	-1	0	0	1	-90
4	x7	0	15	-20	0	60	0	0	0	1	0	0	-20
5	x2	0	0,5	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1
m+1			68,5	289	0	-39	-1	0	-1	0	0	0	-92

Здесь в качестве разрешающего можно выбрать только один элемент: в базис войдет x₁, а выйдет у₁. Преобразованная таблица примет вид таблицы 16 (результаты расчетов здесь и в дальнейшем приведены с точностью до тысячных долей).

Таблица 16 – Оптимальная симплексная таблица для расширенной задачи

N	xб	cб	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	у1	у2	у3
1	x1	0	0,009	1	0	0,003	-0,003	0	0	0	0,003	0	-0,003
2	x5	0	2	0	0	0	1	1	0	0	-1	0	0
3	у2	1	65,831	0	0	-39,763	-0,237	0	-1	0	0,237	1	-90,237
4	x7	0	15,185	0	0	60,053	-0,053	0	0	1	0,053	0	-20,053
5	x2	0	0,491	0	1	0,997	0,003	0	0	0	-0,003	0	1,003
m+1			65,831	0	0	-39,763	-0,237	0	-1	0	-0,763	0	-91,237

Эта таблица оптимальна, так как положительных коэффициентов в критериальном ограничении нет. Оптимальный план расширенной задачи (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, у₁, у₂, у₃) = (0,009; 0,491; 0; 0; 2; 0; 15,185; 0; 65,831; 0). Оптимум расширенной задачи равен у₁+ у₂+ у₃ = 65,831 > 0.

Так как оптимум положителен, можно сделать вывод, что исходная задача неразрешима, так как ее ОДП пуста.

Ответ задачи: составить рацион, удовлетворяющий всем поставленным требованиям, невозможно.

Предположим теперь, что требования к рациону изменились, и теперь предельное содержание белка в нем составляет не 110 г, а всего 44 г. Тогда модель в канонической форме примет вид:

min 4х₁+ 15х₂ + 40х₃

380х₁ + х₂+ 2х₃– х₄ = 4

380х₁ + х₂+ 2х₃+ х₅= 6

90х₂+ 50х₃– х₆= 44

20х₂+ 80х₃+ х₇= 25

х₁+ х₂ + х₃ = 0,5

х_1-7 0

Решим новую задачу симплекс-методом. Для этого расширенную задачу построим следующим образом:

min у₁ + у₂+ у₃

380х₁ + х₂+ 2х₃– х₄ + у₁= 4

380х₁ + х₂+ 2х₃+ х₅= 6

90х₂+ 50х₃– х₆+ у₂= 44

20х₂+ 80х₃+ х₇= 25

х₁+ х₂ + х₃+ у₃= 0,5

х_1-7 0

у_1-3 0

Решение расширенной задачи представлено в таблице 17 (слева и сверху указаны номера строк и столбцов электронной таблицы MicrosoftExcel).

В результате решения расширенной задачи был получен ее оптимум, равный нулю, и оптимальный план (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, у₁, у₂, у₃) = (0,009; 0,487; 0,004; 0; 2; 0; 14,93; 0; 0; 0). Следовательно, можно перейти ко второму этапу двухэтапного симплекс-метода, т.е. начать решать исходную задачу, начиная с опорного плана (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇) = (0,009; 0,487; 0,004; 0; 2; 0; 14,93).

Таблица 17 – Решение расширенной задачи

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N
1					0	0	0	0	0	0	0	1	1	1
2	N	xб	cб	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	у1	у2	у3
3	1	у1	1	4	380	1	2	-1	0	0	0	1	0	0
4	2	x5	0	6	380	1	2	0	1	0	0	0	0	0
5	3	у2	1	44	0	90	50	0	0	-1	0	0	1	0
6	4	x7	0	25	0	20	80	0	0	0	1	0	0	0
7	5	у3	1	0,5	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1
8	m+1			48,5	381	92	53	-1	0	-1	0	0	0	0
9	N	xб	cб	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	у1	у2	у3
10	1	у1	1	3,511	380	0	1,444	-1	0	0,011	0	1	-0,011	0
11	2	x5	0	5,511	380	0	1,444	0	1	0,011	0	0	-0,011	0
12	3	x2	0	0,489	0	1	0,556	0	0	-0,011	0	0	0,011	0
13	4	x7	0	15,222	0	0	68,889	0	0	0,222	1	0	-0,222	0
14	5	у3	1	0,011	1	0	0,444	0	0	0,011	0	0	-0,011	1
15	m+1			3,522	381	0	1,889	-1	0	0,022	0	0	-1,022	0
16	N	xб	cб	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	у1	у2	у3
17	1	x1	0	0,009	1	0	0,004	-0,003	0	0	0	0,003	0	0
18	2	x5	0	2	0	0	0	1	1	0	0	-1	0	0
19	3	x2	0	0,489	0	1	0,556	0	0	-0,011	0	0	0,011	0
20	4	x7	0	15,222	0	0	68,889	0	0	0,222	1	0	-0,222	0
21	5	у3	1	0,002	0	0	0,441	0,003	0	0,011	0	-0,003	-0,011	1
22	m+1			0,002	0	0	0,441	0,003	0	0,011	0	-1,003	-1,011	0
23	N	xб	cб	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	у1	у2	у3
24	1	x1	0	0,009	1	0	0	-0,003	0	0	0	0,003	0	-0,009
25	2	x5	0	2	0	0	0	1	1	0	0	-1	0	0
26	3	x2	0	0,487	0	1	0	-0,003	0	-0,025	0	0,003	0,025	-1,261
27	4	x7	0	14,93	0	0	0	-0,411	0	-1,51	1	0,411	1,51	-156,337
28	5	х3	0	0,004	0	0	1	0,006	0	0,025	0	-0,006	-0,025	2,269
29	m+1			0	0	0	0	0	0	0	0	-1	-1	-1

Иными словами, переходят к решению следующей задачи:

min 4х₁+ 15х₂ + 40х₃

х₁ –0,003х₄ =0,009

х₄+ х₅= 2

х₂–0,003х₄ –0,025х₆=0,487

-0,411х₄- 1,51х₆+ х₇=14,93

х₃+ 0,006х₄ + 0,025х₆= 0,004

х_1-7 0

Именно такая система уравнений записана в последней симплексной таблице (она представляет собой систему уравнений исходной задачи, подвергнутую линейным преобразованиям). Здесь присутствует полный набор базисных переменных: x₁, x₅, x₂, x₇ и х₃.

Однако последняя строка таблицы 17, полученная методом Гаусса, соответствует критериальному ограничению расширенной задачи, т.е. другой целевой функции. Чтобы перейти к исходной задаче, это ограничение надо построить заново, т.е. пересчитать его свободный член (значение целевой функции) и коэффициенты по формулам, выведенным в разделе 3.2.2 (в самом деле, ведь базисные переменные опорного плана здесь входят в целевую функцию).

Для этого в столбец c_бзаписывают коэффициенты целевой функции исходной задачи при переменных x₁, x₅, x₂, x₇ и х₃: 4, 0, 15, 0 и 40. Значение целевой функции составит 4*0,009 + 15*0,487 + 40*0,004  7,5. Первые три коэффициента в критериальном ограничении будут нулевыми, так как переменные x_1-3 – базисные, ₄ = 4*(-0,003) + 15*(-0,003) + 40*0,006 – 0  0,2^* и так далее.

При использовании для расчетов электронной таблицы рекомендуется вставить перед последней симплексной таблицей (перед строкой 23) еще одну строку, и ввести в нее коэффициенты целевой функции исходной задачи. При этом все последняя таблица сместится на строку вниз и займет диапазон ячеек А24:N30 (см. таблица 18). Новая строка станет строкой № 23, и коэффициентами целевой функции будет заполнен диапазон Е23:К23 (диапазонL23:N23 можно очистить).

В столбец (диапазон С25:С29) также надо ввести новые значения коэффициентов целевой функции.

Затем изменим критериальное ограничение, которое записано в 30-й строке. Для этого в D30 введем формулу =СУММПРОИЗВ($C25:$C29;D25:D29)-D23, которую затем скопируем по строке на диапазон ячеек Е30:К30. Диапазон L30:N30 также можно очистить (как, впрочем, и диапазонL25:N29, поскольку искусственные переменные в дальнейшем не понадобятся).

Таблица 18 – Переход к решению исходной задачи

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N
23					4	15	40	0	0	0	0
24	N	xб	cб	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	у1	у2	у3
25	1	x1	4	0,009	1	0	0	-0,003	0	0	0	0,003	0	-0,009
26	2	x5	0	2	0	0	0	1	1	0	0	-1	0	0
27	3	x2	15	0,487	0	1	0	-0,003	0	-0,025	0	0,003	0,025	-1,261
28	4	x7	0	14,93	0	0	0	-0,411	0	-1,51	1	0,411	1,51	-156,337
29	5	х3	40	0,004	0	0	1	0,006	0	0,025	0	-0,006	-0,025	2,269
30	m+1			7,505	0	0	0	0,179	0	0,629	0

Исходная задача здесь также поставлена на минимум. После пересчета критериальной строки становится ясно, что оптимальный план на минимум еще не найден, так как критерий оптимальности нарушается. Положительные коэффициенты 0,179 и 0,629 стоят в обоих небазисных столбцах. Для преобразования таблицы в базис можно ввести либо x₄, либо x₆. Если провести предварительные расчеты и определить, на сколько уменьшится стоимость рациона в том и другом случае (см. раздел 3.3), станет понятно, что выгоднее ввести в базис x₄.

Новая таблица примет вид таблицы 19.

Таблица 19 – Оптимальная симплексная таблица

N	xб	cб	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
1	x1	4	0,011	1	0	0,444	0	0	0,011	0
2	x5	0	1,289	0	0	-167,444	0	1	-4,211	0
3	х2	15	0,489	0	1	0,556	0	0	-0,011	0
4	x7	0	15,222	0	0	68,889	0	0	0,222	1
5	х4	0	0,711	0	0	167,444	1	0	4,211	0
m+1			7,378	0	0	-29,889	0	0	-0,122	0

Теперь положительных коэффициентов в критериальной строке нет, т.е. задача на минимум решена. Оптимальный план Х^*= (0,011; 0,489; 0; 0,711; 1,289; 0; 15,222), оптимум 7,378.

Ответ: для составления рациона следует взять 489 г зерна и 11 г известняка. При этом содержание кальция в рационе будет примерно на 0,7 г выше и на 1,3 г ниже, чем предельно допустимые нормы (от 4 до 6 г). Содержание белка будет на границе нормы, а содержание клетчатки – на 15,2 г меньше максимально допустимого. Стоимость рациона составит 7 руб. 38 коп. в неделю на одного цыпленка.