5.6.4 Выполнение теоремы об оценке

В условиях задачи сказано, что недельный рацион должен содержать не менее 4, но не более 6 г кальция; не менее 110 г белка; не более 25 г клетчатки; и этой смеси должно быть ровно 500 г. Предположим, что эти величины могут меняться. Чтобы узнать, на сколько при этом изменится оптимальная стоимость рациона, в соответствии с третьей теоремой двойственности надо воспользоваться теневыми ценами y_1-5, которые соответствуют ограничениям прямой задачи. Но для этого вначале следует провести анализ устойчивости теневых цен.

Обозначим изменение минимального содержания кальция _b₁; максимального -_b₂; минимального содержания белка -_b₃; максимального содержания клетчатки -_b₄, а массы смеси –_b₅(все эти величины измеряются в граммах). Теперь в таблице 17 вместо свободных членов (b₁,b₂; b₃; b₄; b₅) следует подставить свободные члены (b₁+_b₁,b₂+_b₂; b₃+_b₃; b₄+_b₄; b₅+_b₅), т.е. (4 +_b₁, 6 +_b₂; 44 +_b₃; 25 +_b₄; 0,5 +_b₅).

Однако, если мы просто заполним диапазон ячеек электронной таблицы D3:D7 этими выражениями, программаMicrosoftExcelне сможет осуществить никаких вычислений над ними, поскольку эти ячейки станут текстовыми. Чтобы избежать этого, вставим перед столбцом Е еще пять столбцов. Теперь столбец свободных членов будет занимать 6 столбцов электронной таблицы (D,E,F,G,H,I). В столбцеEзапишем коэффициент, который будет умножен на_b₁, в столбцеF– коэффициент при_b₂, и т.д., в столбцеI– коэффициент при_b₅, а вD– то слагаемое в выражении для свободного члена, которое ни на что не умножается (т.е. прежнее значение свободного члена). Результат представлен в таблице 22.

Теперь новые значения свободных членов, т.е. новый столбец B, записанный в диапазонеD3:I7 электронной таблицы, необходимо подвергнуть тем же линейным преобразованиям, которым подвергались ограничения прямой задачи в таблицах 17-19. Для этого нужно выделить диапазон ячеекD8:D37 и скопировать его на диапазон Е8:I37. В результате этого новые столбцы симплексных таблиц будут пересчитаны по тем же формулам, что и столбецD. Результаты вычислений приведены в последней строке таблицы 22 и в таблице 23. Заголовки столбцов в таблице 23 отредактированы.

Таблица 22 – Подготовка исходной симплексной таблицы к проведению анализа устойчивости двойственных оценок

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N
1										0	0	0	0	0
2	N	xб	cб	B	b1	b2	b3	b4	b5	x1	x2	x3	x4	x5
3	1	у1	1	4	1	0	0	0	0	380	1	2	-1	0
4	2	x5	0	6	0	1	0	0	0	380	1	2	0	1
5	3	у2	1	44	0	0	1	0	0	0	90	50	0	0
6	4	x7	0	25	0	0	0	1	0	0	20	80	0	0
7	5	у3	1	0,5	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0
8	m+1			48,5	1	0	1	0	1	381	92	53	-1	0

Из таблицы 23 видно, что во второй симплексной таблице теперь базисная искусственная переменная у₁=3,511 + _b₁- 0,011_b₃(см. строку 10 электронной таблицы); а не3,511, как в таблице 17. Базисная переменная x₅= =5,511 + _b₂- 0,011_b₃(см. строку 11 электронной таблицы); а не5,511, как в таблице 17, и т.д.

Оптимальный план прямой задачи примет вид Х^*= (0,011- 0,011_b₃ + + _b₅; 0,489 + 0,011_b₃; 0; 0,711 - _b₁ - 4,211_b₃ + 380_b₅; 1,289+ _b₂ + + 4,211_b₃ - 380_b₅; 0; 15,222- 0,022_b₃ + _b₄), оптимум будет равен 7,378+ 0,122_b₃ + 4_b₅.

Таблица 23 – Анализ устойчивости двойственных оценок

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
9	N	xб	cб	B	b1	b2	b3	b4	b5	x1	x2	x3
10	1	у1	1	3,511	1	0	-0,011	0	0	380	0	1,444
11	2	x5	0	5,511	0	1	-0,011	0	0	380	0	1,444
12	3	x2	0	0,489	0	0	0,011	0	0	0	1	0,556
13	4	x7	0	15,222	0	0	-0,222	1	0	0	0	68,889
14	5	у3	1	0,011	0	0	-0,011	0	1	1	0	0,444
15	m+1			3,522	1	0	-0,022	0	1	381	0	1,889
16	N	xб	cб	B	b1	b2	b3	b4	b5	x1	x2	x3
17	1	x1	0	0,009	0,003	0	0	0	0	1	0	0,004
18	2	x5	0	2	-1	1	0	0	0	0	0	0
19	3	x2	0	0,489	0	0	0,011	0	0	0	1	0,556
20	4	x7	0	15,222	0	0	-0,222	1	0	0	0	68,889
21	5	у3	1	0,002	-0,003	0	-0,011	0	1	0	0	0,441
22	m+1			0,002	-0,003	0	-0,011	0	1	0	0	0,441

Продолжение таблицы 23

23										4	15	40
24	N	xб	cб	B	b1	b2	b3	b4	b5	x1	x2	x3
25	1	x1	4	0,009	0,003	0	0	0	-0,009	1	0	0
26	2	x5	0	2	-1	1	0	0	0	0	0	0
27	3	x2	15	0,487	0,003	0	0,025	0	-1,261	0	1	0
28	4	x7	0	14,93	0,41	0	1,51	1	-156,34	0	0	0
29	5	х3	40	0,004	-0,006	0	-0,025	0	2,269	0	0	1
30	m+1			7,505	-0,179	0	-0,629	0	71,830	0	0	0
31	N	xб	cб	B	b1	b2	b3	b4	b5	x1	x2	x3
32	1	x1	4	0,011	0	0	-0,011	0	1	1	0	0,444
33	2	x5	0	1,289	0	1	4,211	0	-380	0	0	-167,444
34	3	х2	15	0,489	0	0	0,011	0	0	0	1	0,556
35	4	x7	0	15,222	0	0	-0,222	1	0	0	0	68,889
36	5	х4	0	0,711	-1	0	-4,211	0	380	0	0	167,444
37	m+1			7,378	0	0	0,122	0	4	0	0	-29,889

Полученный ответ будет иметь смысл лишь в том случае, если значения всех переменных будут неотрицательны (т.е. последняя таблица будет допустимой). Поэтому необходимо проверить знак базисных переменных x₁, x₅, х₂, x₇, х₄; т.е. определить, при каких изменениях свободных членов они будут неотрицательны. Составим систему неравенств:

0,011 - 0,011_b₃ + _b₅  0

0,489 + 0,011_b₃  0

0,711 - _b₁ - 4,211_b₃ + 380_b₅  0

1,289 + _b₂ + 4,211_b₃ - 380_b₅  0

15,222 - 0,022_b₃ + _b₄  0

Чтобы решить эту систему, вначале предположим, что меняется только минимальное содержание кальция, т.е. первый свободный член. Тогда _b₂=_b₃=_b₄=_b₅= 0, и система примет вид:

0,011 0

0,489  0

0,711 - _b₁  0

1,289  0

15,222  0

Отсюда _b₁0,711. В первоначальном варианте исходных данных b₁= = 4. Следовательно, двойственная оценкаy₁= 0 будет устойчивой лишь при норме минимального содержания кальция от любого значения до 4,711 г (4 + + 0,711 = 4,711). Можно сказать, что оптимальная стоимость корма не изменится (изменится на 0 руб.), если потребуется, чтобы в корме содержалось, например, не менее 4,5 г кальция, или не менее 4,7 г кальция, или не менее 2 г кальция, или будет допускаться, чтобы вообще не содержалось кальция. Если эта норма будет повышена, например, до 5 г кальция (5,5 г, 4,8 г, 100 г и т.д.), то неизвестно, на сколько изменится оптимум задачи.

Теперь предположим, что меняется только максимальное содержание кальция, т.е. второй свободный член. Тогда _b₁=_b₃=_b₄=_b₅= 0, и система примет вид:

0,0110

0,489 0

0,711 0

1,289 + _b₂ 0

15,222 0

Отсюда _b₂-1,289. Следовательно, двойственная оценкаy₂= 0 будет устойчивой при норме максимального содержания кальция от 4,711 г (6 - 1,289 = 4,711) до любого значения. Можно сказать, что оптимальная стоимость корма не изменится, если потребуется, чтобы в корме содержалось, например, не более 4,8 г кальция, или не более 10 г кальция, или будет допускаться, чтобы кальция было сколь угодно много. Если эта норма будет снижена, например, до 4,5 г кальция (4,7 г, 1 г, 0 г и т.д.), то неизвестно, на сколько изменится оптимум задачи.

Если предположить, что меняется только минимальное содержание белка, то_b₁=_b₂=_b₄=_b₅= 0, и система примет вид^*:

Следовательно, двойственная оценка y₃= 0,122 будет устойчивой при норме минимального содержания белка от 43,694 г до 44,169 г. Можно сказать, что если потребуется, чтобы в корме содержалось, например, не менее 43,7 г белка, то оптимальная стоимость рациона уменьшится на 0,122*(44 – 43,7) = 0,122*0,3 = 0,0366 (руб.). Если граничное содержание белка составит 44,1 г, то эта стоимость возрастет на 0,122*(44,1 – 44) = 0,0122 (руб.); и т.п. Но если граничное содержание белка составит, например, 43 г, или 10 г, или 44,2 г, или 100 г и т.п., то неизвестно, на сколько изменится оптимум задачи, поскольку при этом исходные данные выйдут за интервал устойчивости двойственных оценок.

При изменении нормы содержания клетчатки _b₁=_b₂=_b₃=_b₅= 0, и система примет вид:

0,0110

0,489 0

0,711 0

1,289 0

15,222 + _b₄0

Отсюда _b₄-15,222. Следовательно, двойственная оценкаy₄= 0 будет устойчивой при норме содержания клетчатки от 9,778 г до любого значения.

И, наконец, при изменении заданной массы корма _b₁=_b₂=_b₃= =_b₄= 0, и система примет вид:

0,011 +_b₅0

0,489 0

0,711 + 380_b₅0

1,289 - 380_b₅0

15,222 0

Отсюда -0,003 _b₅0,002. Следовательно, двойственная оценкаy₅= = 4 будет устойчивой при массе рациона от 0,497 г до 0,502 г.

Правильность полученных результатов легко проверить, изменяя столбец свободных членов в таблице 22 (ячейки D3:D7). Пока они остаются в пределах найденных интервалов, последняя симплексная таблица (см. таблицу 23) останется допустимой. При этом значения двойственных оценок (коэффициенты в критериальной строке) не изменятся, а оптимум (свободный член в критериальной строке) изменится в соответствии с теоремой об оценке.

Например, подставим в ограничение по содержанию белка вместо свободного члена 44 найденное граничное значение 43,694. Для этого просто введем в ячейку D5 это число. При этом результаты вычислений в других ячейках столбцаDизменятся. Новые значения в оптимальной симплексной таблице приведены в таблице 24.

Таблица 24 – Проверка результатов анализа устойчивости

30	A	B	C	D
31	N	xб	cб	B
32	1	x1	4	0,015
33	2	x5	0	0
34	3	х2	15	0,485
35	4	x7	0	15,290
36	5	х4	0	2
37	m+1			7,34

Итак, решение задачи изменилось. Новое значение оптимума 7,34. Свободный член изменился на (43,694 - 44 = -0,306), поэтому оптимум должен был измениться на у₄*(-0,306) = 0,122*(-0,306)-0,037. При первоначальном варианте исходных данных оптимум составлял 7,378. Поскольку 7,378 - 0,037 = 7,34, проверка подтвердила правильность всех вычислений.

Кроме того, результаты вычислений в ячейках D37:I37 таблицы 23 как раз показывают, что оптимум задачи равен 7,378 + 0,122_b₃ + 4_b₅, т.е. непосредственно иллюстрируют теорему об оценке.

Следует обратить внимание, что при подстановке граничных величин свободных членов оптимальный план становится вырожденным (т.е. по крайней мере одна из базисных переменных равна нулю). Например, в таблице 24 x₅= 0. При выходе за пределы найденных интервалов допустимость заключительной таблицы нарушится, т.е. по крайней мере одно из значений в столбце В (ячейкахD32:D36) станет отрицательным. Кроме того, следует помнить, что эти интервалы найдены для условий, когда одновременно изменяется только один элемент столбца свободных членов, а остальные остаются неизменными.

Отметим, что если сравнить столбец F3:F37 (коэффициенты при_b₂) в таблицах 22-23 со столбцом коэффициентов при х₅I3:I37 (после вставки пяти новых столбцов ячейкиI3:I37 стали занимать другой диапазон -N3:N37) в таблицах 17-19, можно убедиться, что они полностью совпадают. Это не удивительно, так как во втором ограничении дополнительная переменная х₅была базисной в исходном опорном плане, и содержимое ячеекF3:F7 в таблице 22 полностью совпадает с содержимым ячеекN3:N7. Следовательно, совпадает и результат их линейного преобразования. То же самое можно сказать про_b₄и х₇.