5.2 Экономическая интерпретация двойственной задачи

Рассмотрим интерпретацию двойственной задачи на примере задачи производственного планирования (предприятие может выпускать n видов продукции из m видов ресурсов, требуется установить объемы выпуска каждого вида, при которых общая выручка была бы максимальной):

(23)

где с_j- цена реализации j-го вида продукции,

а_ij- затраты i-го ресурса на единицу j-го вида продукции,

b_i - запас i-го ресурса,

x_j- выпуск j-го вида продукции (переменные).

Рассмотрим эту же ситуацию с точки зрения ограничений. Предположим, что вместо того, чтобы выпускать продукцию, предприятие собирается продать предназначенные для ее производства ресурсы. Другое предприятие может купить у «исходного» эти ресурсы по некоторым ценам y_i, которые и будут представлять собой переменные двойственной задачи:

(24)

Вид целевой функции двойственной задачи объясняется тем, что предполагаемый покупатель стремится минимизировать свои затраты.

Рассмотрим левые части ограничений. Они представляют собой суммы произведений затрат каждого вида ресурса (на единицу выпуска данного вида продукции) на цены этих ресурсов. Что такое ? Именно такую сумму выручит «исходное» предприятие, если продаст ресурсы, предназначенные для выпуска единицы j–го вида продукции. И оно предприятие продаст свои ресурсы только в том случае, если это будет для него не менее выгодно, чем производить продукт, т.е. эта сумма будет не меньше, чем цена за единицу произведенного продукта каждого вида с_j. Этим объясняется знак в ограничениях двойственной задачи.

Построим задачу, двойственную к задаче, поставленной в разделе 1.1. Для этого введем три двойственных переменных: у₁– двойственная оценка сахарного песка, у₂- патоки, у₃- фруктового пюре. Двойственная задача примет вид:

max 800у₁ + 600у₂ + 120у₃

0,8у₁ + 0,2у₂ + 0,01у₃  108

0,5у₁ + 0,4у₂ + 0,1у₃  140

у_1-30

Целевую функцию этой задачи (800у₁+ 600у₂+120у₃) можно рассматривать, как затраты покупателя на приобретение 800 т сахарного песка, 600 т патоки и 120 т фруктового пюре.

На выпуск 1 т карамели «Снежинка» расходуется 0,8 т сахара, 0,2 т патоки и 0,01 т фруктового пюре. Если продать эти ресурсы, то можно выручить сумму (0,8у₁+ 0,2у₂+0,01у₃). Если произвести 1 т этой карамели, то можно получить прибыль 108 руб. Чтобы осуществить продажу ресурсов, выручка от нее должна быть не меньше 108.

Аналогичные рассуждения можно провести для карамели «Яблочная», для которой построено второе ограничение двойственной задачи.

5.3 Первая теорема двойственности

Сопряженные задачи, построенные по рассмотренным выше правилам, обладают рядом свойств, наиболее важные из которых сформулированы в виде трех теорем двойственности. Здесь они будут рассмотрены без доказательства.

Теорема 1 (основная).

1). Сопряженные задачи разрешимы или неразрешимы одновременно, и если разрешимы, то их оптимумы равны.

2). Если целевая функция одной из задач не ограничена, то область допустимых планов другой задачи пуста.

Следствие: Для Х⁰ОДП(I), Y⁰ОДП(II)

Х⁰, Y⁰- оптимальныеСX⁰= Y⁰B

Т.е. допустимые планы сопряженных задач являются оптимальными тогда и только тогда, когда значения целевых функций этих задач на этих планах равны.

Замечания:

а) Утверждение, обратное второй части теоремы, не всегда является верным, т.е. если ОДП одной из сопряженных задач пуста, целевая функция другой не обязательно не ограничена. ОДП может быть пуста у обеих задач.

б) Логично предположить, что, поскольку сопряженные задачи могут быть разрешимы только одновременно, то, решив исходную задачу симплекс-методом, можно каким-то образом извлечь из этого решения оптимальный план двойственной задачи. Это действительно так.

Оптимальный план двойственной задачи находится в критериальной строке оптимальной симплексной таблицы для прямой задачи.

Если ограничение прямой задачи представляет собой неравенство, то при приведении ее к канонической форме в этом ограничении вводится дополнительная переменная. Каждому ограничению соответствует основная переменная двойственной задачи. Ее оптимальное значение находится в том столбце симплексной таблицы для прямой задачи, который соответствует ее дополнительной переменной. Определить значения двойственных переменных, которые соответствуют уравнениям прямой задачи, несколько сложнее, и подробно останавливаться на этом вопросе мы здесь не будем^*.

Каждой неотрицательной основной переменной прямой задачи соответствует ограничение-неравенство двойственной задачи. При приведении двойственной задачи к канонической форме в каждое такое ограничение также вводится дополнительная переменная. Ее оптимальное значение находится в том столбце симплексной таблицы для прямой задачи, который соответствует ее основной переменной.

В качестве примера рассмотрим оптимальную симплексную таблицу (таблицу 13) для задачи, решенной в разделе 3.3. Задача, двойственная к ней, была построена в разделе 5.2. Если привести ее к канонической форме, она примет вид:

max 800у₁ + 600у₂ + 120у₃

0,8у₁ + 0,2у₂ + 0,01у₃ – у₄ = 108

0,5у₁ + 0,4у₂ + 0,1у₃ – у₅ = 140

у_1-50

Три неравенства прямой задачи были преобразованы в уравнения путем введения дополнительных переменных х₃, х₄и х₅. Этим трем ограничениям соответствуют основные переменные двойственной задачи у₁, у₂ иу₃. Следовательно, их оптимальные значения следует искать в трех последних столбцах таблицы 13: у₁^*= 125,33; у₂^*= 0;у₃^*= 773,33.

Двум основным переменным прямой задачи – х₁и х₂– соответствуют два неравенства двойственной задачи. Их преобразовали в уравнения путем введения дополнительных переменных у₄ иу₅. Следовательно, их оптимальные значения следует искать в двух первых столбцах таблицы 13: у₄^*= 0; у₅^*= 0.

Таким образом оптимальный план двойственной задачи Y^*= (125,33; 0; 773,33; 0; 0).