1.3.2 Задача о раскрое материалов

Из 100 листов фанеры изготавливают детали 3 видов: А, В и C, - после чего из них составляют комплекты, включающие 3 детали А и по 2 детали В и С. Из каждого листа можно изготовить либо 4 детали А и 1 деталь С, либо по 2 детали А и С и 3 детали В. Необходимо раскроить листы так, чтобы максимизировать число комплектов деталей.

Построим математическую модель этой ситуации.

В задаче необходимо определить, сколько листов раскроить каким способом. Введем переменные x₁– количество листов фанеры, обработанных первым способом (при котором получают 4 детали А и т.д.), x₂– количество листов, обработанных другим способом.

Цель операции – получить как можно больше комплектов. Поскольку рассчитать число комплектов с помощью имеющихся данных и введенных переменных невозможно, введем еще одну переменную – х – количество комплектов деталей.

Так как всего имеется 100 листов, х₁ + х₂100.

За счет первого способа обработки будет получено 4х₁ деталей А, а за счет второго – 2х₂. Общее число деталей А должно быть не менее 3х, так как в каждый из х комплектов должно войти по 3 детали А (и часть деталей А может остаться лишними). Таким образом, 4х₁+ 2х₂3х. Аналогичные ограничения строятся для деталей В (3х₂2х) и С (х₁+ 2х₂2х).

Кроме того, здесь по смыслу задачи переменные должны быть не только неотрицательными, но и целыми. Тогда модель примет вид:

max x

х₁ + х₂100

4х₁+ 2х₂3х

3х₂2х

х₁+ 2х₂2х

х_1,2, х0

х_1,2, хZ

Или по-другому:

max x

х₁ + х₂100

4х₁+ 2х₂- 3х0

3х₂- 2х0

х₁+ 2х₂- 2х0

х_1,2, х0

х_1,2, хZ

1.3.3 Задача о загрузке транспорта

Судно грузоподъемностью 112 т необходимо загрузить предметами пяти различных типов, каждый из которых весит соответственно 5, 8, 3, 2 и 7 т и стоит соответственно 4, 7, 6, 5 и 4 тыс. руб., таким образом, чтобы общая стоимость груза была наибольшей.

Построим математическую модель этой ситуации.

В задаче необходимо определить, сколько предметов каждого типа следует погрузить на судно. Введем переменные х₁ - число предметов 1-го типа, загружаемых на судно; х₂ - число предметов 2-го типа, …, х₅ - число предметов 5-го типа.

Такой набор предметов будет стоить 4х₁+ 7х₂ + 6х₃ + 5х₄ + 4х₅(тыс. руб.) и весить 5х₁+ 8х₂ + 3х₃ + 2х₄ + 7х₅(т).

Модель примет вид:

max 4х₁+ 7х₂ + 6х₃ + 5х₄ + 4х₅

5х₁+ 8х₂ + 3х₃ + 2х₄ + 7х₅112

х_1-50

х_1-5Z

1.4 Формы записи задачи линейного программирования

Формулы (1) и (2) описывают задачу линейного программирования в смешанной форме. Кроме того, существует несколько специальных форм записи таких задач.

1.4.1 Каноническая форма задачи линейного программирования

Задачу с неотрицательными переменными, все остальные ограничения которой имеют форму уравнений, будем называть канонической формойзаписи задачи линейного программирования:

(3)

Любая задача в смешанной форме может быть приведена к канонической. Рассмотрим, каким образом это делается.

Пусть ограничение задачи в смешанной форме имеет вид неравенства со знаком . Преобразуем его в уравнение. Можно доказать, что

(4)

Здесь новая переменная y_iназываетсядополнительной, и представляет собой разность между правой и левой частями ограничений:(именно наy_iлевая часть неравенства может быть меньше правой). Иногда ее еще называют балансовой. Эта переменная всегда вводится, как неотрицательная.

Чтобы понять смысл введения новой переменной, представим себе, что две части неравенства представляют собой груз на чашах весов, и правая часть может быть тяжелее (рисунок 1). Чтобы сравнять, сбалансировать обе части, добавим на левую чашу весов дополнительный груз (впрочем, если «весы» и без того были уравновешены, то вес этого нового груза может быть и нулевым).

Аналогично можно преобразовать ограничения, имеющие вид неравенств со знаком , только здесь дополнительная переменная вводится со знаком (-):

(5)

Здесь переменная y_iтакже называется дополнительной и представляет собой разность между левой и правой частями ограничений:(на столько правая часть может быть меньше левой).

Переменные х_j,, иногда называютосновнымипеременными задачи, чтобы отличать их от дополнительных.

С помощью рассмотренных действий можно преобразовать любое ограничение задачи в уравнение. Но чтобы привести задачу к канонической форме, требуется также, чтобы все ее переменные были неотрицательными. В задаче в смешанной форме это не всегда так: переменные могут быть не ограничены по своему знаку. Если на переменную не наложено ограничение неотрицательности, она может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Предположим, что переменная x_j– именно такая. Введем две новые неотрицательные переменныеx_j`0 иx<sub>j</sub>``0. Затем заменим переменнуюx<sub>j</sub>на разность этих двух переменных:x<sub>j</sub>=x<sub>j</sub>` -x_j``. Разность неотрицательных чисел по знаку может быть любой (положительной, отрицательной, нулевой). Таким образом, осуществив такую замену, можно избавится от неотрицательной по знаку переменной, не изменив при этом смысл задачи.

Приведем к канонической форме задачу производственного планирования из раздела 1.1. В этой задаче обе переменные неотрицательны, но остальные три ограничения представляют собой неравенства. Следовательно, необходимо ввести три дополнительные переменные. Обозначим их соответственно х₃, х₄и х₅. Тогда задача примет вид:

max 108х₁ + 112х₂

0,8х₁ + 0,5х₂+ х₃ = 800

0,2х₁ + 0,4х₂+ х₄ = 600

0,01х₁ + 0,1х₂ + х₅ = 120

х_1-5  0

Каков экономический смысл новых переменных? Каждая из них показывает, на сколько левая часть может быть меньше правой, т.е. на сколько расход ресурса может быть меньше, чем его запас. Таким образом, дополнительная переменная в задаче производственного планирования представляет собой неизрасходованный остаток ресурса:

х₃ – неизрасходованный остаток сахарного песка, т;

х₄- неизрасходованный остаток патоки, т;

х₅- неизрасходованный остаток фруктового пюре, т.

Далее в разделе 4.2 будет рассмотрено приведение к канонической форме задачи о диете из раздела 1.3.1 и интерпретирован экономический смысл дополнительных переменных.