6.6.3 Отчет по пределам

Отчет по пределам состоит из двух таблиц - для целевой функции и для переменных. В них приводятся оптимальный план и оптимум задачи (в графах «Значение»). Кроме того, в таблице для переменных присутствуют графы «Нижний предел» и «Верхний предел», в которых указано, в каких пределах могут изменяться значения переменных, в то время как значения остальных переменных фиксированы, и план остается допустимым. Для обоих пределов приводится «Целевой результат», т.е. значение целевой функции на плане задачи, в котором одна переменная принимает свое предельное значение, а остальные принимают те же значения, что и в оптимальном плане. Для рассматриваемого примера таблицы отчета по пределам будут иметь вид таблицы 33.

Таблица 33 – Отчет по пределам

	Целевое
Ячейка	имя				Значение
$B$11	Прибыль от производства карамели, руб.				160213,3
	Изменяемое		Нижний	Целевой		Верхний		Целевой
Ячейка	имя	Значение	предел	результат		предел		результат
$B$6	Производство карамели «Снежинка», т	266,667	0	164266,7		266,667		193066,7
$C$6	Производство карамели «Яблочная», т	1173,33	0	28800		1173,33		193066,7

Из таблицы 33 следует, что если фабрика будет производить 1173,3 т карамели «Яблочная», то оставшихся ресурсов хватит, чтобы произвести от 0 до 266,7 т карамели «Снежинка». При этом ее прибыль составит от164266,7 руб. (если не производить «Снежинку», т.е. «производить» 0 т) до193066,7 руб., если осуществить оптимальный план выпуска. Если фабрика будет производить 266,7 т карамели «Снежинка», то оставшихся ресурсов хватит, чтобы произвести от 0 до 1173,3 т карамели«Яблочная». При этом ее прибыль составит от28800 руб. (если не производить «Яблочную») до193066,7 руб., если осуществить оптимальный план выпуска.

6.7Пример задачи с множественным решением

Изменим условия рассмотренного примера. Пусть теперь карамель «Снежинка» приносит 224 руб. прибыли на тонну. Из таблицы 31 следует, что при изменении этой прибыли от 14 до 224 руб. оптимальный план задачи не изменится.

Введем в ячейку В4 электронной таблицы (см. таблицу 26) значение 224 вместо значения 108, и снова обратимся к «Поиску решения». Хотя на первый взгляд это кажется парадоксальным, при этом значения переменных могут измениться. Отчет по устойчивости, который будет получен, примет вид таблицы 34.

Таблица 34 – Отчет по устойчивости

Изменяемые ячейки

Результ.

Нормир.

Целевой

Допустимое

Допустимое

Ячейка

Имя

значение

стоимость

Коэффициент

Увеличение

Уменьшение

$B$6

Производство карамели «Снежинка», т

1000

0

224

1E+30

0

$C$6

Производство карамели «Яблочная», т

0

0

140

0

1E+30

Ограничения

Результ.

Теневая

Ограничение

Допустимое

Допустимое

Ячейка

Имя

значение

Цена

Правая часть

Увеличение

Уменьшение

$B$8

Расход сахарного песка, т

800

280

800

1600

800

$C$8

Расход патоки, т

200

0

600

1E+30

400

$D$8

Расход фруктового пюре, т

10

0

120

1E+30

110

При этом в ячейке В11 будет получено значение целевой функции 224000. Это означает, что не смотря на то, что прибыль не вышла за интервал устойчивости, был получен новый оптимальный план: производить 1000 т карамели «Снежинка» («Яблочную» не производить вообще). При этом оптимальная прибыль составит 224000 руб.

Итак, оставаясь в пределах допустимого диапазона, мы все равно получили другой оптимальный план. Однако выполнив «Поиск решения» с теми же исходными данными еще раз^*, в графе «Результ. значение» снова можно получить тот же оптимальный план, что и в таблице 29.

Следовательно, при таких значениях прибыли для кондитерской фабрики одинаково выгодны оба плана. Более того, при таких исходных данных у задачи будут и другие оптимальные планы. В самом деле, при таких коэффициентах целевой функции градиент будет иметь координаты (224, 140) и пройдет точно так же, как на рисунке 18, - перпендикулярно прямой, соответствующей первому ограничению (коэффициенты этой прямой и целевой функции пропорциональны: 224/0,8 = 140/0,5 = 280). Следовательно, весь отрезок между точками А = (266,7; 1173,3) и В = (1000; 0) будет представлять собой оптимальные планы. Формула этого отрезка на плоскости была выведена в разделе 2.2.4: Х^*=k*A+ (1 -k)*B=k*(266,7;1173,3) + (1 -k)* (1000; 0) = (k*266,7+ (1 -k)*1000;k*1173,3+ (1 -k)*0) = = (1000 – 733,3*k;1173,3*k), гдеk[0; 1].

Можно вывести формулу для всех пяти переменных (включая дополнительные). В отчете по результатам для оптимального плана (1000; 0) остаток патоки составит 400 т, фруктового пюре – 110 т, а сахарный песок будет израсходован полностью^*. Это видно и из таблицы 34 (600 – 200 = 400; 120 – 10 = 110). Тогда Х^*=k*(266,67; 1173,33; 0; 77,33; 0) + (1 -k)*(1000; 0; 0; 400; 110) = (1000 – 733,3*k;1173,3*k; 0k+ 0*(1 -k); 77,33k+ 400*(1 -k); 0k+110*(1 -k)) = (1000 - 733,33k; 1173,33k; 0; 400 – 322,67k; 110 - 110k).

Пересчет оптимальных планов также легко осуществляется с помощью таблицы. Пусть в диапазоне ячеек В16:F16 находится план А, в В17:F17 – план В. Поместим в ячейкуG16 любое значениеk, например, 0,3. ВB18 введем формулу =B16*$G16+B17*(1-$G16), которую скопируем на диапазон С18:F18. Тогда в В18:F18 появится новый оптимальный план (см. таблицу 35). Подставляя вместоkвG16 различные числа от 0 до 1, можно получить альтернативные планы выпуска карамели, одинаково выгодные для фабрики (самые прибыльные). При подстановкеk= 0 новый план совпадет с планом А, а приk= 1 – с планом В.

Таблица 35 – Множественное решение

	А	B	C	D	E	F	G
15		x1	x2	x3	x4	x5	k
16	X(1)	266,67	1173,3	0	77,333	0	0,3
17	X(2)	1000	0	0	400	110
18	X	780	352	0	303,2	77

В соответствии с этим оптимальным планом фабрика выпустит 780 т карамели «Снежинка» и 352 т «Яблочной», причем 303,2 т патоки и 77 т фруктового пюре останутся неизрасходованными.

Каким образом можно по «Отчету об устойчивости» судить о наличии у задачи более одного оптимального плана? Как отмечалось ранее в разделе 6.6.2, такое предположение можно сделать на основании граф «Допустимое Увеличение» и «Допустимое Уменьшение» для коэффициентов целевой функции. В самом деле, в таблице 34, соответствующей множественному решению, в этих графах в каждой строке есть нули. Следовательно, при ничтожно малом изменении коэффициента возможен переход к другому оптимальному плану. Изменение оптимума также будет ничтожно мало, т.е. новый план будет столь же выгодным. Итак, если в графах «Допустимое Увеличение» и «Допустимое Уменьшение» встречается ноль, следует предположить наличие альтернативного решения. Чтобы проверить это предположение, имеет смысл уменьшить или увеличить коэффициент на очень малую в рамках модели величину, снова выполнить «Поиск решения» и проанализировать полученный в результате оптимальный план.